1樓：起什麼名字好呢
假設折成三段指的是一次性均勻地選擇兩個斷點。
首先，組成三角形的乙個必要條件是兩個斷點必須在木棍中點的兩側，不然必然有一條邊長度超過木棍長度的一半，這個概率是1/2。
在此基礎上，設第乙個斷點到第二個斷點的距離為l，這個量在0到1之間均勻分布，組成三角形的充要條件是l<1/2，所以這一概率又是1/2。
把兩個概率相乘就得到了答案1/4。
2樓：吳庭
原答案考慮有誤。
掰木頭本身就不是乙個對稱問題，因為掰下第一段(a)後，完全隨機的狀況下是有 a 的概率繼續從第一段裡掰，有 1-a 的概率從剩下的那一段裡掰，所以概率積分公式應該改為：
顯然圖示應該為：
向 @the-butterfly 抱歉，你的回答是對的。
我這邊提供另一種思路：
掰成3段實際上等價於找兩個切分點a，b，假定b>a，則問題轉化為a、b-a、1-b構成三角形概率。
顯然概率積分公式為
錯誤部分請檢視原答案。
支援 @jackeyli
@jackeyli 的回答，從掰木棍的過程理解是很直觀的解釋方法。
@the-butterfly 的回答錯誤很隱蔽，我將在我的回答裡解釋。
顯然它們是滿足 a + b + c = 1 的約束的變數，其分布的自由度為 2，所以考慮 a、b 兩個隨機變數
先考慮簡單問題：
1、木頭掰成2段，其左邊一段的長度在 0 到 a_i 之間的概率是多少，顯然
2、再考慮進一步問題：已知當 a 取 a_i 時候，a、b、c 構成三角形的概率
會發現隨著 a 的取值不同，b的分布改變。
這裡指出 @the-butterfly 的答案的錯誤所在，他的示意圖實際上預設了a、b都從屬於0到1的均勻分布，然後強行將a+b>1部分的概率空間排除，但這部分空間被排除的時候相應的a、b的聯合概率分布發生了變化，他沒有考慮到這個變化。
3、最後考慮問題：把木頭掰成三段，能構成三角形的概率
與 @Jackeyli
@jackeyli 的回答一致供參考
3樓：jackeyli
1/4的答案是錯的
正確答案應該是-ln(1/2)-1/2
首先我們假設第一刀砍了百分之x,那麼剩下的那部分就是1-x,然後我們再在剩下的那部分下砍百分之y,於是棍子就分成了x,(1-x)y,(1-x)(1-y)
根據三角形
(1-x)(1-y) " eeimg="1"/>
=> \frac - x" eeimg="1"/>
0" eeimg="1"/>
\frac} ,即 y > 1 + \frac" eeimg="1"/>
畫出函式影象,我們可以知道可行解在紅色區域內
接著我們繼續計算
(1-x)y" eeimg="1"/>
- \frac" eeimg="1"/>
接著畫影象可行解的區域縮小了
接著我們還有
x" eeimg="1"/>
於是這塊面積就是解
我們可以知道
利用積分發現會碰到ln(t) t < 0的情況怎麼辦？
利用函式影象關於點(1,1)中心對稱我們可以計算這塊藍色面積，這個沒有問題
於是紅色面積等於1/2 - 2 * （1/2 - 藍色面積) = 2 *藍色面積 - 1/2
計算藍色面積為
可得藍色面積為
於是概率為
計算出來約為0.19314718056
OK，驗證我們的答案
答案非常接近那麼，顯然這才是正確答案正常人都是先剪第一段再剪第二段怎麼會兩段一起剪呢，所以1/4是錯的。
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