1樓：煮酒
作出等腰三角形的外接圓，過頂點做一條與底邊平行的直線，一定與圓相切，則其他三角形的頂角都在圓外，一定小於等腰三角形的頂角
2樓：
考慮另乙個問題：所有同底同頂角的三角形中，什麼時候高最大
這個問題的答案是明顯的——底邊和頂角固定時，頂點的軌跡為兩個關於該邊所在直線對稱的圓弧，因此最高點處圓弧的切線應與底邊平行，對應的即為等腰三角形，並且取最值的情形是唯一的。
直觀上講，命題到這裡就證完了。如果不想要深究邏輯嚴謹的話就不用往下看了。
上述內容我們稱之為引理1：如果三角形的底邊和頂角固定，則當且僅當它為等腰三角形時高取最大值。
我們再證明引理2：如果等腰三角形底邊a固定，則頂角y是高h的函式，並且y關於h遞減。
這個命題是顯然的。
再考慮原問題。先證明存在最大值。設底邊為a，高為h，較小的底角為x，頂角為y，則容易證明a和h固定時，y是x的函式。
而x比另乙個底角小，比較兩個底角的餘切值可以知道x的最大值為等腰三角形情形中的底角θ。仍然考慮餘切值，可以知道x可以任意小，因而x的範圍為(0,θ]。而考慮餘切值可知另乙個底角π-x-y可以任意接近π，因此y的範圍也是乙個區間(0,t]，t為某個值，並且x→0時y→0。
又由於y連續，故y存在最大值。
然後考慮取最大值的情形，如果此時不是等腰三角形，那麼固定頂角y，由引理1可以知道三角形為頂角為y的等腰三角形時高h取最大值h'＞h。那麼由引理2，高為h的等腰三角形對應的頂角y'＞y，與y是高為h的三角形中頂角最大者矛盾。因此原命題成立。
3樓：Dylaaan
考慮利用三角函式來建立邊與角度的關係：
在 中，角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，假設 為定值作 ，設 ， ，則
則 ，由均值不等式，
因此 ，取等時 ，此時是等腰三角形。
這也就解釋了為什麼「所有同底等高的三角形中，等腰三角形頂角最大」。
4樓：傻子.傻問題殺手
用微元法
已知a+b為常數，當a發生乙個很小的變化d時dA=cos(A)*d/m=h*d/m^2dB=-cos(B)*d/n=-h*d/n^2當m當m>n時，a增大，（A+B）會減小
只有在m=n時（這不就是等腰麼），（A+B）最大
銳角三角形的內接三角形中垂足三角形周長最短，怎麼證明？
鴞歌 幾何解法樓上已經給出了，那就提供乙個物理思路吧，把內接三角形的三個頂點看成三個可以無摩擦滑動的環，三條邊看成套在環上的一條橡皮筋。每個環都受到三個方向的力 理想狀態下，橡皮筋內部張力是均勻的，所以在兩邊上的拉力相等，合力方向在角平分線上。而桿子給環的的力是垂直於杆的，所以，假如合力方向不垂直於...
三角形A能放進三角形B的條件？
把乙個三角形放到另乙個三角形中，想到的第乙個條件應該就是，A的面積要比B小。然而這只是必要條件，不是充分條件。延伸一下想到的是 三角形A的最長邊不大於B的最長邊，最短邊也不大於B的最短邊，這兩條邊的夾角不大於B中最長和最短邊的夾角。兩邊及夾角剛好可以求面積.然而這兩邊足夠短夾角其實是可以大於B中的夾...
周長相等的三角形中，什麼三角形面積最大？
流數術 等邊三角形，理由如下。設想固定三角形任意兩個頂點，周長一定時，另一頂點軌跡是以固定兩點為焦點的橢圓，所以另一頂點在橢圓短軸兩端時面積最大，即三角形每個頂點都在另外兩頂點的中垂線上，易證三角形等邊。 自學生 用我發現了 時間生命是一對同在的自然法則 觀點看，內等邊三角形和外半徑週期形，是一對同...