1樓：
胖圓不多於瘦圓。瘦圓數目可以數出來。
感謝 ＠金玥蘇指正完善。
對平面上任意乙個點集，都存在叫做 Delaunay Triangulation [1] 的三角化，把點連成三角網格，使得每個三角形的外接圓都不包含任何其他點。如果任意四點不共圓，那麼這樣的三角化是唯一的。歸納可證，這些三角形的外接圓就是所有的瘦圓（已經 @Brown Chen 驗證，證略）。
如果點集中有 n 個點，點集的凸包（convex hull [2]）的邊界上有 b 個點，那麼根據尤拉公式[3]，可分出 2n-2-b 個三角形。由於我們的點集是凸多邊形的頂點，凸包即多邊形本身，邊界上有 n 個點，所以有 n-2 個瘦圓。
我們現在構造乙個反演 [4] 變換，把所有的胖圓都變成瘦圓。
在胖圓的交集中選乙個點，只被包含在乙個瘦圓中（存在性證明見註1）。以此為反演中心，任取反演半徑，做反演變換。變換後，所有的胖圓都內外對換，成為瘦圓。
除反演中心所在的瘦圓外，其他 n-3 個瘦圓反演後還是瘦圓。
現在數一下反演後的點集中瘦圓的數目。凸包的邊界上至少有 3 個點，所以反演後的點集至多有 2n-5 個瘦圓，去掉原來的 n-3 個瘦圓，得原點集中胖圓的數目至多 n-2。
注1 : 因為是凸多邊形，n 個點構成 n-2 個三角形。所以至少有一對鄰邊同屬乙個三角形，即至少有乙個點，只和乙個三角形相鄰。
根據 Delaunay 三角化的特點，這個點只被乙個瘦圓覆蓋。在該點鄰域和多邊形的交集中取一點，即滿足要求的點。
Delaunay Triangulation 舉例（http://
2樓：
如果凸多邊型的鈍角多，就是胖圓多，反之，瘦圓多。因為凸多邊型，鈍角個數大於等於銳角個數，所以胖圓不少於瘦圓。
證明略。。。。。
3樓：
一樣多任一四邊形的內角和為360度，如果該四邊形不是圓內接的，考慮對角和，必然有一對大於180度，設這對角為A和C，一對小於180度，設為B和D，則過BAD和BCD的是胖圓，過ABC和ADC的是瘦圓；任一四邊形都有兩個胖圓和兩個瘦圓，所以兩種圓一樣多。
兩個凸多邊形的交是否是凸多邊形？
sinxl 我覺得題主關心的是凸集，多不多邊形倒是無所謂。對凸集來說，答案是對的 證明如下 假設凸集A和凸集B，交集為C。在C中任取兩點x y。顯然，x y屬於凸集A，因此x y的任意凸組合都屬於A，同理x y的任意凸組合也都屬於B，即x y的任意凸組合都屬於A交B C，因此C也是凸集 HumJ 凸...
周長及邊數一定時，如何證明正多邊形面積最大？
朱偉 寫乙個不算純數學的證明，應用了物理，具體來說就是熱力學第二定律的變體，自由能最小原理。第一步先證明共圓。1.對於周長C a b z 不一定是26邊形 的多邊形，固定其每個邊的邊長，邊與邊用轉動副連線，沿垂直紙面方向拉伸此多邊形，使其形成多邊柱形水桶，往水桶裡倒體積為V的水。在平衡狀態，為了保持...
一般人的瞳孔是圓形的還是多邊形的，為什麼會像相機一樣出現衍射？
神父卡茨 跟衍射沒有關係，就是眼睛成像系統的點擴散函式 PSF,point spreading function 的形狀而已。 呂銀河 我認為是睫毛導致的衍射而不是瞳孔。因為可見光的波長也就幾百奈米，而瞳孔的直徑在公釐級別，一般為2 8公釐。這個尺寸相對於光的波長來說太大了，導致半形寬度幾乎為零，看...