數和運算的本質是什麼？

1樓：臨風

個人理解，計算的本質是推理和證明，是不同表達方式之間的轉化。

比方說乙個方程組需要求解得到乙個數，其實這個方程組和這個數是完全等價的，只不過方程組我們可能不能直觀感受到它代表的含義，求解後得到乙個數，我們就可以更容易用感性去度量。

你說的進製轉換也是乙個道理

2樓：FishHe

題主應該是電腦科學專業出身，《離散數學》是基礎課，裡面闡述了數和運算的本質，實踐很重要，但不要忽略課本呀。

數的本質是集合，這個集合可能是有序集合（自然數），也可能是無序集合（虛數），可能是有限集合（），也可能是無限集合()。運算的本質就是定義在這個集合上的對映。

首先說說什麼是「基本元」和「定義在這個集合上的運算」。

基本元——零元和單位元，例如在自然數集中，零元是0，單位元是1，集合中的其他所有元素都由他們匯出，匯出的方法就是「這個集合上的運算」。

運算——就是集合上的對映。如果在以上的集合中定義了加法運算f(x,y)-->z，這裡的xyz都屬於以上集合，那麼「1+1=2」這個過程，就是乙個二元對映f(1,1)-->2，另外還有對映f(1,2)-->3，加法對映具有交換律，所以f(2,1)-->3。除了二元對映，還可以有一元對映（求反）、三元對映（三維向量的混合積），等等。

所以下次有人問你，1+1=2，怎麼證明？答案是不用證明，因為2本來就是由單位元1和加法定義的，這是定義，定義不需要證明。太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦；一生二，二生三，三生萬物，都是這個道理。

集合和定義在這個集合上的運算構成了「代數系統」。

題主是做微控制器的，它可以是一類最簡單的代數系統。

以模3的計數器為例，它的集合是，只有乙個一元運算t：

t(0)-->1

t(1)-->2

t(2)-->0

這個代數系統就由這個集合和「計數」這個運算t構成。

對於進製這種問題，是每一位的數的「權」的分配問題，比如在二進位制中，從低到高位，權值分別是1,2,4,8,16,32....在十進位制中，權值變成了1,10,100,1000,10000,.....

進製只改變了計數的符號所代表的權，沒有改變量的大小，也沒有改變運算。

比如在十進位制中10中的1代表的權是10，而在二進位制中1代表的權是2，進製改變的是「1」這個符號在第二位這個地方的「權值」，加減乘除的定義沒有發生任何改變。

但因為權值有所不同，所以有一些表示可能會干擾題主。如在3進製下，3表示為10，一除以三表示為1/10=0.1；但在10進製下1/3=0.33333333.....

上面兩式都是一除以三，但乙個是有限小數，乙個數無限小數，這裡依然可以從權值理解。

3樓：Viia

建議學習代數系統

代數系統中說明了加減乘除的一些性質（不敢妄言本質）正實數域的乘法和實數域的加法同構減（除）法相當於加（乘）上該元素的逆元

Ps:同構這個性質很是有趣我這個初學者的理解是2個有限的代數系統同構意味著只要改變乙個系統裡元素的寫法就可以完全變成另乙個系統也就是他們運算的本質相同只是表象（元素的名稱）不同

4樓：黃公尺糕

我簡單說一下：

首先在數學上自然數是由Peano公理定義的，所以不存在解釋的問題，因為定義如此。

但離開數學的嚴格語境，在自然語境下，數是因為計數需要被人類歸納出來的。

譬如2，我有2個雞蛋，2頭牛，2個朋友。我發現他們雖然是不同的東西，但是有乙個共性，我把這個共性抽象出來，表記為「2」。其他的自然數也是如此。

而如果我的雞又生了乙個蛋，我的牛又生了小牛，我又新交了乙個朋友。那麼他們又具有了乙個新共性，我們把這個共性表記為「3」，而上述三種行為又具有乙個共性，就是施加了一種運算後，2變成了3，我們把這種運算性質定義為「+」。之前由於所有男生的小丁丁都具有的乙個共性，我定義了「1」，所以有了1+2和3，我發現兩邊只是同一事物的不同說法，所以定義了「=」來表示同一種說法，1+2=3，加法就此誕生。

但是為什麼會有進製呢？只是為了方便表記而已。假設把10這種性質表記為A，以此類推，每一種性質都用乙個新的記號來表示。

數字少倒無所謂（16進製制已經很蛋疼了），一萬兩萬的學習成本得有多大。聰明的人類又發現了，K（人類沒開竅之前也就是20的表記）這玩意兒不是可以拆成2個A（也就是10）嗎？這恰恰又具有之前定義的「2」這個性質，所以不妨用前面表記過的符號「2」來描述K的性質，也就是說K可以表記成2和A的一種關係，我們把這種關係表記為「×」也就是乘號了，也就是K=2×A。

利用這種等價關係，我們可以基於0至9（十進位制），甚至是0和1（二進位制）把所有後面的性質都表示出來，省去了創造符號的時間成本和學習成本。換句話說，我們通過增加表達維數的手段來降低了符號數目。

至於為什麼現在普遍是十進位制，那是因為人一開始用手指頭計數，就十個，你還能怎樣？二進位制是為了以最少的字元數來與計算機溝通。至於六十進位制，那就是古巴比倫人飽暖思淫慾無聊搞出來計時的。

至於還有各種奇怪的進製，可能在不同領域，各有各的優勢吧。

現在我們只有自然數，至於其他數。。

高代要考試了，還在複習，等考試結束了我們再擴充套件數域吧。

5樓：Ary Shinko

數和運算的本質是各種數集中的元素所進行的各種對映操作。

而進製只是人類對數的一種表示方法，與運算沒有任何關係。

按照人類文明的發展順序，這個過程可以總結為：先把真實的物體抽象成最容易理解的一進製自然數，再定義最基本的運算——加法，接著人類發現最原始的一進製表示法很繁瑣，根據平時數手指的經驗發明了十進位制（有些文明發明了二十進位制，你猜這是為什麼）。

由於「進製」這種高階的數的表示法的誕生，人類可以擺脫「用手指計數」的時代，從而定義更複雜的運算，產生更大的數集，數學開始飛速發展。

6樓：invalid s

等等，等等，別跑那麼快。步子太大會扯掉蛋的。把步子放小點你就明白了。

數字是什麼？

你和小夥伴是原始人，你們一起掏了許多個鳥窩，弄出來一堆蛋。你家山洞裡面更涼一些，所以小夥伴希望把自己的那份鳥蛋也放你家。

現在就有個問題：這一堆蛋放你家，你會不會偷吃呢？

小夥伴很聰明，他發現這堆蛋的數量剛好和兩隻手的所有手指頭加乙隻腳的兩個腳趾頭一樣多。於是他就在牆上畫了兩隻手+乙隻腳（加法！）——然後又劃掉了三根腳趾頭。

以後，每次從你家取走幾個蛋，他就從牆上劃掉幾根指頭。這就是減法。

後來，你們又一起去掏鳥窩了。掏完後，小夥伴又分了兩隻手加乙隻腳的鳥蛋；同時，上次的鳥蛋還剩乙隻手——加起來就是三隻手+乙隻腳。

小夥伴忽然發現，其實他用不著畫腳。其實全畫成手就對了——4隻手和3隻手+乙隻腳代表的鳥蛋數，其實一樣多。

甚至他都不需要畫4隻手。只要在上一排畫四根手指，然後再在下面畫乙隻手就對了。

那麼，拿走乙個鳥蛋怎麼辦呢？

小夥伴冥思苦想了乙個多月，終於想出解決辦法了：

他在上面一排畫乙隻手，然後畫個叉叉，再畫三根手指；然後在下一排畫一根手指，再畫個叉叉，然後畫4根手指——這意思是，三根手指那麼多的手上面的手指數，加上四根手指那麼多的手指數，他給你解釋。

當然了，現在我們知道這叫「五進製」；而「三根手指那麼多的手上面的手指數」，現在我們表示為3X5——這就是乘法。

嗯，如果你的小夥伴天生6指的話，他很可能就會發明六進製制了。

但不管是五進製、六進製制、八進位制、十進位制、十六進製制還是二進位制，它們最終表示的鳥蛋數量是一樣的——不然你這小夥伴要麼坑他自己，要麼就坑你。

既然鳥蛋數量是客觀實在的，那麼兩堆鳥蛋放一塊、或者一堆鳥蛋分兩堆，它們的總數量就總是固定的。

所以，數字所代表的數量是確定的，和它是幾進製無關；而加減乘除同樣作用於數量：在不同進製上，運算規則或許必須隨機應變，但最終算出的數量關係不變。

那麼，加減乘除都什麼意思呢？

嗯，翻開小學數學課本，跟我掰手指數蘋果……

——媽蛋你的基礎得有多不牢靠，還得我給你輔導小學數學？

攤手……

7樓：劉龍

以下僅僅是我自己的一點想法，如果不對請多指教。

我覺得你已經回答自己的問題了，運算就是從不同的角度來表示同一件事物。

10進製數，是以10的n次方為基準，對乙個數進行分解，來表示。

16進製制數，是以16的n次方為基準，對乙個數進行分解，來表示。

而加法，是以加數和被加數，對乙個數進行分解。

減法，是被加數為負時，對乙個數進行分解。

這是我們以加法模式來分解一件事物，乘法模式也是一樣。

8樓：這杯咖啡別加糖

我不知道數的本質是什麼，我覺得運算的本質是在一些關係下得到乙個量，再把量轉化成相應進製下數的過程，平時都是轉化為十進位制的數字吧。

數和運算的本質是什麼？

有什麼數域關於根號運算是封閉的？

本質的本質是什麼？

美和醜的本質是什麼

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