1樓：YorkYoung
設 ，則
規定最大公約數一律取非負整數，0和任何整數的最大公約數是它的絕對值首先設 ，由於 ， 且 ，從而 ，也就是說 中的全體都是 的倍數，即 。
設 ， ，則 ，從而 使得 ，於是 ，，即 ，或 。
綜上 牛刀：理想的和還是理想，主理想整環的所有理想都是主理想。
推論：若 ，則 。
所以 , 。
乙個對稱的結論是 。
2樓：水之心
這兩個集合顯然不是等集:
(1) 集合 只含有偶數, 而集合 含有奇數 (例如 時所對應的元素是 );
(2) 集合 實際上是所有偶數所組成的集合, 因為任意偶數 都可以寫成 的形式, 而 , 也就說是在 時所對應的元素.
(3) 集合 , 因為 , 且對任何 , 必有 且 .
3樓：劉醉白
結論：這兩個集合不相等，第乙個集合真包含於第二個集合。
這本質上其實是個初等數論的問題。我先給出嚴格一點的證明，最後給出高中怎麼做這道題。
(一)首先證明下一般的情況，
設 ， 是已知的整數， 和 的最大公因子記為 ，設集合 ，集合 ，那麼有 。
證明：①對 ，因為 是 的因子，同時也是 的因子，所以 也是 的因子，所以存在某個整數 ，使 ，即 ，
那麼就有 。
②對，根據Bezout(裴蜀或貝祖)定理，存在整數 使 ，那麼 ，
那麼就有 。
結合①和②，有
(二)根據上述結論，看看你這道題
(1) ， 時， 和 的最大公因子 ，所以 ＝偶數集合。
(2) ， 時， 和 的最大公因子 ，所以
所以，(三)高中如何做(下面採用了題主的集合符號)：
令 ， ，得到 ，那麼對任意整數 ，，即這個集合等於整數集 ，但是不存在整數 使 ，因為 一定是偶數，所以
現實生活中是否所有長度均為無理數？
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