1樓：
設 是域 是上的線性空間，若 上有二元運算 滿足：
（1） (結合律）
（2)則 是域 上的乙個代數。
進一步，若 則稱 是域 的乙個交換代數
若 則稱 是結合代數
參考有限維半單李代數簡明教程（蘇豫才）
即對某一線性空間內的定義某種運算後進行的研究
2樓：張景斌
分階段代數，就是要把數字帶進去……4，5年級開始解方程，x就是未知數。後來學點小學奧數，方程組來啦，甚至有些聰明的小孩學矩陣，群論，eemmm這個不算好了，畢竟不是法國小學生（大霧）
代數，就是「代」和「帶」。和第一階段相比，這次的代數不是簡單的一次線性方程組，而是二次三次都來啦……這時候，整個中學和大學非數學系，由有理數 無理數，代數數 超越數，由實數 復平面，還有各種數學表示都用線性代數來表示。基本思想：
構建模型，分析值域，解方程組 （也可以設而不求）得出結構。
代數，是數學的代名詞。大學數學專業狗無力吐槽。代數是一切分支的基礎啊。
剛開學，就要把實數的定義，數域摸透。然後各種微積分，中值定理，級數展開……都需要很強大的代數變形技巧。學完數分，就赤裸裸的《高等代數》《抽象代數》課程來啦，名字都帶著「代數」倆，還是本科最精彩的部分，你說代數就是數學？
i can not agree more......
代數……我未知的領域。我還沒有涉及到，就先不談了。
3樓：浪費nice
1.本義：用符號代替數字進行運算。
具體表現為：解方程2.延伸：
用符號代替平面向量，空間向量，n維向量，s×n矩陣等多元數進行運算。具體表現：向量空間。
3.發展：用符號代替群，環，域進行運算，「把注意力集中在運算上」。具體表現：線性變換構成的線性空間。
一句話（總結）：
用符號代替數學結構進行運算。
自我理解等同於建模，不過是數學上「建模」，因此是數學專業的基礎之一由於要重新學習代數，並且要理解。看了各位前輩的答案，結合自己淺薄的知識，做出的回答。
乙個數學專業的本科生。
4樓：Mad·Fox
我對「代數」的理解就是「代入資料」，而所謂「代數的」理論性工作本質上就是在構造一種「能夠進行資料代入的邏輯機器」（邏輯機器就是指類似於定理，定義，方程，函式等這樣的物件），而「抽象化」作為一種理論工作本質上就是在構造這種邏輯機器，只不過它對於資料代入後得到的結果是有「達到某個預先的具體結果」的要求的，從這個層次來說，「抽象化」是一種特殊的「代數工作」.
5樓：Alex Julius
度量和拓撲本質是物理的，數學過度到自然科學並不是突變的，不能用是否一般化和是否公理化來劃分數學和科學，幾何是乙個重要的轉折點，我們應該看的是什麼樣的量和因此導致的結構和系統是因為現實世界的邏輯附加的，而在更一般的世界中居於次要地位。
回應一些爭議，我們退一步說，比如說統計力學也是可以拿Fields獎的，桌球也很有趣很複雜很有意義，但是桌球始終不是田徑和舉重，就像大部分數學分支不是純數學一樣。特別地，從歷史邏輯的演化角度讓我們看待一些基本問題，概念，結構的引入，我們可以很從容地發現，絕大部分數學分支的內容有太多的特殊性或者說巧合性，這並不是純數學自身所關注的內容的演化的結果，自然也不會是純數學。
6樓：
代數源於實踐，是人類社會和自然活動中產生的數量運算。參考：
7樓：了反字名的我
設A是域K上的線性空間，且對乘法A×A→A和向量加法構成乙個環，且滿足(ka)b＝k(ab)，k∈K，a，b∈A，則稱A是乙個代數。
8樓：Yuhang Liu
第一階段的代數是對（線性、多項式）方程（組）的研究——不過那個階段的數學家還沒有能力研究高次多項式方程組，因為這涉及到後來出現的代數幾何。
第二階段的代數是對群環域模等抽象代數結構的研究。
第三階段的代數是對範疇、函子等「泛結構」的研究。
總的來說，就是從對具體物件的研究公升級到對物件之間的關係的研究，越來越抽象，越來越本質，刻畫能力也越來越強（比如刻畫晶體的對稱性需要群，刻畫準晶的對稱性則需要群胚（groupoid），群胚不是乙個集合，而是乙個範疇）。
9樓：
代數是什麼？此題之大非不才能答。但以「代數」之名話之，以期窺見一斑。
目錄1. 從「al-jabr」到"algebra"
2. 從「algebra」到「代數」
3. 代的不光是「數」
4. 從數與數之異到「數」與「數」之同
5. 從歷史的代數到發展的代數
參考文獻
1. 從「al-jabr」到"algebra"
一些回答提到，「代數」就是用字母代替數。實際上，「代數」這個詞翻譯自拉丁文algebra，algebra又源於阿拉伯語。
公元820年左右，阿拉伯數學家花拉子公尺寫了一本代數學著作《Al- Kitāb al-mukhta sar fī hísāb al-jabr wa'l-muqābala》。「Al-jab」原意為還原，這裡表示移項；「wa'l-muqābala」意為化簡，這裡表示方程兩邊同時消去相同的項或合併同類項。書名直譯為漢語就是《還原與對消計算概要》。
這本書指出，任何一元一次和一元二次方程都能通過移項和化簡變成六種基本形式，並給出了這六種基本形式方程的求根公式。這本書在2023年左右由羅伯特譯為拉丁文，在歐洲產生巨大影響。
注：關於書名及其演變，我查了幾本書，各有出入。但不影響對本文主旨的理解。
到了14世紀，「al-jabr」演變為"algebra"。之後，「wa'l-muqābala」逐漸被人忘記，而這門學科也就被簡稱為「algebra」。
由此可見，從詞源的角度來說，「algebra」的本義是還原與對消，這門學科研究的是解方程的方法。
花拉子公尺的《還原與對消計算概要》有乙個缺點：完全沒有代數符號。一切演算法都用文字語言來表達。這本重要的代數學著作卻不具備「代數」的特徵，今天看來也是有趣。
2. 從「algebra」到「代數」
雖然花拉子公尺的代數學沒有使用符號，但在他之前已經有人將符號引入代數運算。希臘數學家丟番圖（250年前後）在《算術》中採用了一套符號表示未知數，並發明了一種記法來寫方程式。他使用的符號和記法跟今天有很大不同，但他是用符號表示未知數和方程式的先驅。
法國數學家韋達在《分析引論》（1591）中第一次有意識地使用代數字母和符號。笛卡爾在《幾何學》（1637）中以a、b、c、d……表示已知量，以x、y、z、w……表示未知量，改進了韋達的符號。至此，代數的符號體系已經比較接近今天我們看到的樣子。
儘管貢獻代數學名稱的花拉子公尺不會使用符號，用符號代替數還是代數的基本特徵。
第乙個用「代數」指稱這一學科的是英中國人Wylie。2023年，他到上海學習中文，後來用漢語寫了一本《數學啟蒙》（1853），介紹西方的數學。序中說：
「有代數、微分諸書在，餘將續梓之。」
2023年，清代數學家李善蘭和Wylie合譯英國德·摩根的《Elements of Algebra》（1835），定名《代數學》。「代數」從此成為這門學科的正式中文名稱。
2023年，華蘅芳和英中國人Fryer合譯英國Wallis的《代數術》，卷首有「代數之法，無論何數，皆可任以何記號代之」。這解釋了「代數」之名的由來：用符號代替數。
3. 代的不光是數
初中數學中，用字母表示數是從算術到代數的第一次飛躍。到了高中我們發現，字母不光能表示數，還能表示平面向量！
如果只是能用字母表示，倒沒有什麼稀奇。畢竟我們早就在平面幾何中用字母表示點和直線了。稀奇的是，這貨不光能用字母表示，還能進行加、減、數乘和點乘的運算。
這些運算和實數的運算似乎有相同的地方，似乎又有些不同。
再往後，我們在立體幾何中學習了空間向量。這一點都不奇怪。我們繼續沿用平面向量中學到的規則，熟練地對它們做加、減、數乘和點乘運算。
儘管在中學數學中向量是以幾何形式引進的，然而當你的眼睛離開圖形盯著代數式，開始對它們加加減減時，它就已經屬於代數了。代數，代的不光是數。
4. 從數與數之異到「數」與「數」之同
現在把目光集中在數上。從自然數到整數，再到有理數，每一次數系的擴充都伴隨著一種運算能力的解放。從自然數到整數，減法不再受限制；從整數到有理數，除法不再受限制。
（從有理數到實數有點複雜，擴充套件的不是簡單的加減乘除運算，屬於分析領域了）
數與數的不同，不單純表現在元素的區別，還表現在其中不受限制之運算的區別。
回頭看向量。學會平面向量的代數運算後，空間向量的代數運算沒有任何困難，因為它們完全遵循相同的規則。進一步，當我們只考慮加法、減法和數乘運算時，對向量進行代數運算並不需要額外學習，因為它們和以前學過的運算也遵循相同的規則！
為了說得更清楚，我舉乙個例子。
如果不加說明，誰能分清這裡的a、b表示的是實數、平面向量還是空間向量？
因為實數、平面向量和空間向量三者的運算規則相同，都遵循加法的交換律、結合律，以及數乘對加法的分配律。上面的每一步運算都沒有違背規則。所以，這裡的a、b既可以是實數，也可以是平面向量，還可以是空間向量。
於是，學會三者之中任意一種的運算，也就學會了另外兩種。
既然如此，運算物件具體是什麼已經不重要了。重要的是能對它做什麼運算，以及這些運算遵循什麼運算律。這時，代數所代之「數」就不是狹義的數，而是具有某些運算並滿足某些運算律的一些物件了。
5. 從歷史的代數到發展的代數
「Algebra」的本義是還原與對消，引申為方程術。從歷史來看，代數學是對得起這個名稱的。直到19世紀初，研究代數方程的解法仍是代數學的全部內容。
19世紀，對五次和五次以上代數方程一般解的研究引入了群和域的概念。群和域都是具有某些運算並滿足某些運算律的物件集合。自此，代數學的研究不再侷限於代數方程，更多地把眼光放在了各種抽象物件的運算關係上。
「代數」義為用符號代替數，本質上是乙個抽象過程：從具體的、確定的數到抽象的、未定的數。這是第一步抽象。
當我們把注意力集中於所研究物件的運算和運算律，而忽略所代之「數」的具體類別時，完成了進一步的抽象。
19世紀中葉的Wylie和李善蘭在敲定《代數學》之名時恐怕沒有想到，代表方程術的「algebra」其時正在化蛹，代表抽象的「代數」如今已然成蝶。21世紀初的我們在思考代數是什麼時，恐怕也難以想見未來的代數學會迎來怎樣的新生。
參考文獻
[1]李文林. 數學史教程[M]. 高等教育出版社，施普林格出版社，2002
[2]梁宗巨. 世界數學史簡編[M]. 遼寧人民出版社，1980
（本想簡明扼要直入主題，一不小心寫了這麼長一篇，(─.─|||汗）
代數為什麼叫 代數
我心永恆 代數 的英文是Algebra，源於阿拉伯語，它的本意是 結合在一起的意思 即代數的作用是把很多看似不相干的東西結合在一起，也就是進行抽象。什麼意思，比如小時候我們算1 1 2，老師通常會這麼說，乙個蘋果加乙個蘋果等於兩個蘋果。於是1 1 2。這就是代數的作用。再到後來我們學會了用字母表示數...
抽象代數 交換代數 同調代數 群表示論 李代數 代數拓撲的學習順序應該是怎樣的？
algebraicstack 交換代數 atiyah 這個可以直接來 同調代數最好學過代數拓撲，不然你肯定不知道在幹嘛代數拓撲 Hatcher 同調代數 GTM4,Cantan的書有點老讀交換代數的時候你可能覺得這些內容比較雜，所以可以去讀GTM52前兩章，記住每個交換代數的定理都是有幾何意義的。深...
結合代數是交換代數和同調代數的過渡嗎？
交換代數本身當然是結合代數，但是交換性條件過於優越，所以交換代數這個方向的研究內容和結合代數是有區別的，更加深入也更加特殊。同調代數則是另乙個學科，而且同調代數有很強的工具性。儘管如此，在結合代數的一些現代研究中，同調代數的出現更加頻繁。事實上，我們會常常研究結合代數的模，並且這個模範疇的匯出範疇攜...