做中值定理的題目時怎麼建構函式？有沒有一些方法呢？

1樓：廣君

在考研以及非數學專業的範圍內，遇見這種既有既有ξ又有η的中值定理題目，基本就兩種套路。

第一種的特徵是題目裡f′(ξ)和f′(η)複雜程度相同，那麼就在給定的區間內找到乙個點，然後用兩次拉格朗日中值定理；

第二種的特徵是給定的f′(ξ)與f′(η) 複雜程度不同，那麼只需要看二者中複雜的那乙個，如果這部分明顯是某個函式的導數，便直接用拉格朗日中值定理；如若不是，那麼就用柯西中值定理。

這樣講太抽象，舉幾個例子說明一下。先拿題主給定的題目來講，含有ξ的部分為f′(ξ)，含有η的部分為，顯然兩者的複雜程度不一，符合第二種特徵。進一步的，並非是某個函式的導數，那麼便屬於使用柯西的情形，此處2η為η的導數，那麼設g(x)=x，點η∈(a,b)，使得 = = = = = ，原命題獲證。

再來乙個例子：f(x)在[a,b]連續，在(a,b)可導，且a＞0，證明 ξ,η∈(a,b)，使得ab f′(ξ)= ηf′(η).

這道題ξ的部分為f′(ξ)，η的部分為ηf′(η)，符合第二種特徵，且ηf′(η)也不是某個函式的導數，那麼便和上題一樣屬於使用柯西的情形。同樣的思路，ηf′(η)= ，而是的導數，則設g(x)= ，點η∈(a,b)，使得 = = = = ab f′(ξ)= =ηf′(η) ，原命題獲證。

最後舉乙個符合第一類特徵的例子：f(x)在[a,b]連續，在(a,b)可導，f(0)=0，f(1)=1，點c∈(a,b)，使得f(c)=1-c，然後證明存在ξ,η∈(a,b)，有f′(ξ) f′(η)=1.

很明顯此處的f′(ξ)和 f′(η) 複雜程度一致，且題目裡已經明確給出了點c，使用兩次拉格朗日，f′(ξ)= = ，f′(η)= = ，於是f′(ξ) f′(η)=1.

2樓：布里艾爾

第七題要點並不是要構造輔助函式。

存在兩個字母的，用柯西中值定理，通常會再用到拉格朗日中值定理。

這裡先將η和ξ字母分開，想辦法湊成 f『(γ)/g'(γ)=(f(a)-f(b))/(g(a)-g(b) )的形式（書上這裡γ會寫成ξ，為了避免題目中字母混淆，我用γ）

這個g(x)函式，是要你自己去想出來的；x0，就是η、ξ之一。

通常題目裡會把這個g』(γ)露給你看，比如這道題目有兩個η，很容易看出來，要湊的f『(γ)/g'(γ)就是f『(η)/g'(η)，其中g'(η)就是2η，g(x)=x

那麼這道題目寫成柯西中值定理會是如下的格式：

f『(η)/2η=f(a)-f(b)/(a-b)

但是你化成的式子，卻是f『(η)/2η=f』(ξ)/(a+b)，

右邊不一樣啊，不用急，這個時候用拉氏中值定理，ξ∈（a，b），使f『(ξ)=(f(a)-f(b))/(a-b)，這不就出來了嗎~

然後寫答案時這麼著：

令g(x)=x，根據柯西中值定理，η∈（a，b），使 f『(η)/g'(η)=(f(a)-f(b))/(g(a)-g(b))

即f『(η)/2η=f(a)-f(b)/(a-b)

根據拉格朗日中值定理，ξ∈（a，b），使f『(ξ)=(f(a)-f(b))/(a-b)

故η，ξ∈（a，b），使f『(η)/2η=f』(ξ)/(a+b)，即f』(ξ)=(a+b)f'(η)/2η撒花~