1樓：布里艾爾
第二小題我懷疑樓主抄錯題了，應是要求有兩個不同的實根
當然也不排除你們作業降低了難度，這裡我把證兩個的過程寫下來
(1) 樓主也說第一題送分了。
當c屬於（0，δ）這個很小的0的右鄰域裡，c>0,f(c)/c<0, f(c)<0
而f(1)>0，根據零點定理，必有η∈（c，1）包含於（0,1），使得f（η）=0
（2）構造輔助函式，F'(x)=f(x)f''(x)+(f'(x))^2，F(x)=f(x)·f'(x)
我們目的是，證明F（x）在三個不同的點是取相同的值的，
從而可用羅爾定理證F』（x）有兩個不同的零點
即f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0有兩個零點
想想這道題有過哪些特殊點，
我們通過第一題已知f（η）=0，那麼很容易想到，讓F(x)=0
F(η)=f(η)·f'(η)=0，
還有沒有點0？
這題有乙個陷阱，就是f(0)=0，而不是<0。
極限存在必有限，f(x)=f(x)/x ·x ；有界×無窮小=0
（其實不難理解，f(x)必須是x的同階無窮小，哪怕找個f(x)=x驗證下也就不會錯得f(0)<0了。）
所以F(0)=f(0)·f'(0)=0
前面我們兩個F(x)=0都是用了f(x)=0，f』(x)還沒用到，一般地，題目會讓f』(x)也能得0
因為f(0)=f(η)，故有f'(ξ)=0, F(ξ)=0, 0<ξ<η
因為F(0)= F(ξ)=0,故有F』（a）=0，a∈(0,ξ)包含於（0,1）
因為F(ξ)= F(η)=0,故有F』（b）=0，b∈(ξ,η)包含於（0,1）
即f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0有兩個零點a,b∈（0,1）撒花~
2樓：張燦
這是乙個可化為分離變數的微分方程，f（x）一階導數為p，解微分方程。再求一階導數二階導數帶入已知方程，令F（x），求導，看大小確定零點。我認為是。
這不是中值定理，是微分方程與零點定理的結合。
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