1樓：想啊想啊想
多面體尤拉定理：對於簡單多面體，其頂點數V、稜數E及面數F間有:V-E+F=2。
結論1：當一條稜上同時存在兩隻蒼蠅時，它們的前進方向必然相反，此時要麼碰撞將要發生，要麼碰撞已經發生。
結論2：當某一時刻某個頂點所連線的所有稜上都存在蒼蠅時，此時這些蒼蠅的前進方向，要麼全部朝向該頂點，此時碰撞必將發生；要麼全部背離該定點，此時碰撞已經發生。
結論3：某個時刻t0，對於相鄰的兩個頂點A、B，若除了AB間的稜a為空稜之外，A、B其餘相鄰稜均非空稜，則相遇必然發生。
如圖，設A點除a之外有n條相鄰稜，從a開始順時針分別為a1、a2、…、an；B點除a之外有m條相鄰稜，從a開始順時針分別為b1、b2、…、bm。
觀察稜a1上的蒼蠅T1，有兩種可能。
第一：如果此時T1正朝向A點運動，則T1將經過A點進入a，T1屬於a、a1、bm所在的面；那麼bm上的蒼蠅Sm此時一定正朝向B點運動，將經過B點從b（m-1）離開，Sm屬於bm、b（m-1）所在的面；那麼b（m-1）上的蒼蠅S（m-1）此時一定正朝向B點運動……
以此類推，我們會發現b1上的蒼蠅S1此時一定正朝向B點運動，S1屬於b1、a、an所在的面，那麼an上的蒼蠅Tn此時一定正朝向A點運動……
繼續以此類推，我們最終會發現，A點其餘稜上所有蒼蠅都在向A運動，B點其餘稜上所有蒼蠅都在向B運動，此時顯然相遇必然發生。
第二：如果此時T1正背向A點運動，則T1從a2而來經過A點進入a1，T1屬於a1、a2所在的面；那麼a2上的蒼蠅T2此時一定正背向A點運動，T2從a3而來經過A點進入a2，T2屬於a2、a3所在的面；那麼a3上的蒼蠅T3此時一定正背向A點運動……
以此類推，那麼an上的蒼蠅Tn此時一定正背向A點運動，Tn從a而來經過A點進入an，Tn屬於b1、a、an所在的面，那麼b1上的蒼蠅S1此時一定正背向A點運動……
繼續以此類推，我們最終會發現，A點其餘稜上所有蒼蠅都在背向A運動，B點其餘稜上所有蒼蠅都在背向B運動。
此時考慮經過A點的順序，顯然T1早於T2……早於Tn，類似的經過B點的順序，S1早於S2……早於Sm。
不妨將Tn最近一次經過A點的時間點記作ta，將Sm最近一次經過B點的時間點記作tb。如果ta早於tb。因為Sm的軌跡是a1-a-bm。
在tb前的乙個瞬間，Sm在a上向B運動。此時A點滿足結論2，相遇已經發生。
ta晚於tb類似；若ta=tb，在前乙個瞬間，Tn和Sm必然都在a上，由結論1，相遇必然發生。
從乙個頂點A1出發，A1和它所有能夠通過空稜連通的頂點A1、A2、…、An，組成集合P，兩個端點均屬於P的空稜組成的集合記作S，易知集合P中任意乙個頂點所連線的空稜都在S中。
此時S加P組成的圖形可以分為兩種，無環形聯通的樹杈型：
以及存在若干個環形連通的多環型：
易知，結論3描述的圖形就是一種最簡單的樹杈型圖。
結論4：任何樹杈型圖，都將導致相遇必將發生。
證明：對於某個時刻t0，頂點集合P=組成的樹杈型圖，類似結論3，要麼所有非空稜上的蒼蠅都在朝向某個P中的頂點移動，此時相遇必然發生；
要麼所有非空稜上的蒼蠅都在背向某個P中的頂點移動。
此時，不妨假設對於P中任意乙個頂點Ak（k=1，2，…，n），Ak相鄰的非空稜上的蒼蠅中，最晚經過點Ak的記作Sk，且發生時間點為tk，假設tm是t1到tn中的最晚時間點。在時間點tm，蒼蠅Sm從某條稜q經過頂點Am，則顯然在時刻t0，q一定是空稜，否則在tm前的乙個瞬間，q稜滿足結論1，相遇必將發生。
在時刻t0，將P組成的樹杈型圖從空稜q分成兩半，其中不包含點Am的部分，在時間點tm前的一瞬間，要麼是乙個滿足結論2的點，此時相遇必然發生；要麼一定也是乙個樹杈型圖，它的頂點集合P1一定是P的子集，元素數量小於n。
如果t1到tn中的最晚時間點tm，由j只蒼蠅S1，S2，…，Sj同時達到，顯然時刻t前乙個瞬間，S1，S2，…，Sj所在的稜，均為時刻t0時的空稜q1，q2，…，qj，若其中存在重複的稜qk，則時刻tm前乙個瞬間，qk滿足結論1，相遇必會發生。
若不存在重複，在時刻t0，將P組成的樹杈型圖從空稜q1，q2，…，qj分成j+1部分，其中必然存在乙份不包含頂點A1，A2，…，Aj。在時刻tm前乙個瞬間，該部分要麼是乙個滿足結論2的點，此時相遇必然發生；要麼一定也是乙個樹杈型圖，它的頂點集合P1一定是P的子集，元素數量小於n。
對時刻tm下P1組成的樹杈型圖，重複進行之前的操作，有限次之後，一定能得到乙個滿足結論2的點，或者乙個滿足結論3的最簡樹杈型圖，此時相遇必將發生。
假設蒼蠅永遠不會相遇，則多面體不存在滿足結論2的頂點，任何頂點都與至少一條空稜相鄰，則任何頂點都屬於乙個頂點集合Pk，Pk和連通Pk中所有頂點的空稜構成的圖形，根據結論4，一定是非樹杈型圖，即多環型圖。
多面體的所有頂點，一定被分成了有限個頂點集P1、P2、…、Pn，此時每個頂點集和連通其內部所有頂點的空稜構成的圖形，也都是多環型圖。且易知不同頂點集之間不會有公共頂點。
對於樹杈型圖，圖中空稜數等於頂點數減1；而對於任意多環型圖，空稜數在頂點數減1的基礎上，每多乙個環就加一。
每乙個多環型圖中，空稜數都不小於頂點數，那麼整個多面體中，空稜數x>=頂點數V.
但因為結論1，非空稜稜數一定等於蒼蠅數F，x+F=E=V+F-2 x=V-2
矛盾，故假設不成立，碰撞必然發生。
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