這個群表的條件怎麼理解?

時間 2021-06-22 03:08:15

1樓:

群表的存在性和群的封閉性等價,單位元的存在由題幹保證,逆元的存在與條件(1)等價,這個題主似乎都清楚,也明白如何利用結合律(比如消去中間元素)得到條件(2)。只需要利用條件(2)構造合適的矩形證明結合律,就圓滿了。

具體來說,不妨設群表的第一行/列的第一/二/三個元素分別為 ,表中元素為行對應的元素乘以列對應的元素,則第二行第三列元素為 (即題主材料中的「以為頂點的矩形第4個頂點為」,如下表)。ex

yxxyy

在第三列找到 ,在 所在行(設為第 行)找到 (設為第 列)。(如下表)ex

yxxyy

ez由第 行第三列元素為 ,第二行第三列元素為 ,第 行第 列元素為 ,則第二行第 列元素是 (即題主材料中的「矩形的第4個頂點元素為」,如下表)。ex

yxxy(xy)zye

z由第 行第三列元素為 ,第一行第三列元素為 ,第 行第 列元素為 ,則第一行第 列元素是 。(即題主材料中的「以為頂點的矩形第4個頂點為」,如下表)。ex

yyzxxy

(xy)zye

z進而由第二行第一列元素為 ,第一行第一列元素為 ,第二行第 列元素為 (即題主材料中的「矩形的第4個頂點元素為」,如下表)。ex

yyzxxy

(xy)z=x(yz)ye

z由和是同乙個頂點(第二行第 列),故得,即結合律成立。

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