1樓：anderson
材料1：群是G=；
材料2：集合是A=；
材料3：作用是Φ;
對於物理專業，用非數學專業語言講通俗地講：
當定義了某個作用Φ，比如是左作用；那麼G中的某個元素g作用到A的元素x上寫成g(x)=gx ,你可以把g看做f,其實就是函式f(x)乙個道理，只是f不止乙個。當G中元素不止乙個，每個g作用到集合X上都會得到乙個像，就理解成定義域是X值域Y，這裡很簡單，值域依舊是X的子集，（所以g是看做X到自身的對映）。因為群G中元素g不止乙個，比如有g1,g2...
等，所以值域也會有Y1，Y2等。
2樓：Simpler
先給定義：
Definition:Left-G-action on a set is a map: ,compatible with the group multiplication:
,and .
那麼群作用有哪些用處呢？
首先，群在向量空間上的作用就是群表示：
這個群表示誘導出群作用 ，反之亦然。
而且，群作用還可以induce出 上的向量空間 作為群代數的模。
假設 ，那麼
這裡 是群代數裡的乘法， 是模里的乘法， 是群代數裡的加法，是模里的加法。
其中，由於 是線性空間，，而 的結果就可以由乙個群作用 給出。
此外，群 作用在 上，還可以自然的induce出群作用在從 到另乙個集合 的所有函式的集合 上，假設這個群作用為 ,
，大家可以自行驗證這個定義是well defined的，它和群的乘法compatible.
在場論中，比如場是時空流形 上的函式，那麼假設時空有某個對稱性 ，其在時空流形上的作用就可以被等價為對場的作用，那麼我們就可以說場存在這種對稱性。
然後是今天看到了群作用（這裡也是群表示）乙個不錯的例子，就是Heisenberg Group and a particle moving on a discrete circle.
即考慮群 作用在 上，如果我們把 中的元素都看成希爾伯特空間 的基的j話，那麼
這個空間中的任意乙個態 都可以看成是 中的元素， 現在假設這個基 就是離散化的位置算符 的本徵態， 群作用 即是取內積生成波函式操作：，且有
由於動量算符是平移的生成元，我們定義：
，可以可以證明這裡的對易關係變成了：
此外，在 下P，Q的矩陣形式為 ,
Heisenberg group正是以這兩個矩陣作為generator的群。
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