選擇公理到底是什麼

1樓：清雅白鹿記

如果需要從無窮多個集合的每個集合中各取出乙個元素，用他們組成乙個新的集合，如果採用逐個挑選的辦法，那就要到無窮多步之後才能斷言這個集合的存在，顯然是不行的。

如果能找到乙個性質P，並且上述無窮多個集合的每個集合中有乙個元素具有性質P，那就可以斷言元素集的存在，這樣就避開了無窮多次的具體選擇。

羅素曾經舉個乙個例子：

設有無窮多雙鞋，想要建立乙個集合，使它恰好含有每雙鞋中的乙隻，這是不必進行無窮多次選擇的。因為鞋分左右腳，只要取全部的左腳鞋就可以了。這個「左腳鞋」就是性質P。

關鍵是在很多場合是找不到這樣性質P。比如說是散亂的無窮多雙襪子，上述方法就行不通了，襪子不分左右，找不到性質P把他們區分開，使用選擇公理就可以做到。

選擇公理宣告：設 X 是乙個集族，則存在著在 X 上定義的乙個選擇函式 f 。其中集族表示由非空集合組成的集合。

選擇函式表示乙個集族上的函式，對於集族 X 中的所有集合 s ， f(s)是 s 的乙個元素。

公理是不需要證明的，直接暴力的拿來用。

因此利用選擇公理，可以從無窮多雙襪子中，選出乙隻組成乙個集合。

2樓：喵嗚大將軍

簡化的講，選擇公理可以認為是在說，對於任何乙個非空集合，我們總是能從中取出乙個元素

這看起來確實是廢話哈，但考慮這樣乙個事實：

人類能夠描述的實數（使用有限的符號）的集合是乙個可數集。那剩下的實數呢？不可定義數並不是乙個嚴格的集合概念，但我們粗略的考慮這些數的時候，我們會發現，我們無法從中取出乙個數（因為我們根本無法定義他們）

所以，我們只能選擇相信，即使對於這樣的集合，我們也能取出乙個元素（承認選擇公理）

或者乾脆認為，既然我們無法從中取出元素，那麼就是說，存在至少乙個非空集合，我們無法從中取出乙個元素（不承認選擇公理）

3樓：

選擇公理：

對於乙個集合族（其中是指標集，可以為有限，可數，或不可數）其成員均不為空集，那麼存在乙個集合，使得.

為了選擇公理的表述，一般都會引入下面這個專門為選擇公理服務的函式，叫選擇函式：

於是選擇公理的後半句就成了：

，使得（這種情況下）

為什麼題主覺得選擇公理是廢話呢？因為許多情況下，選擇函式的存在性是顯然的，根本不需要出動選擇公理。比如說這樣：

那麼顯然取，即證明了的存在性。（注意這時候指標集是不可數集哦。）

這種情況下，之所以顯然存在，是因為選取規則的存在。一旦選取規則不存在，事情會變的很麻煩。比如說，你只知道每乙個都非空，但根本不知道裡究竟有什麼，連中的乙個元素都說不出，比如是實數集所有非空子集的集合。

但即使選取規則不存在，有些情況下，依然不需要出動選擇公理。

比如是有限集。

有限，則必然等價於.

對,確切找到乙個，在上定義，使得.

對,確切找到乙個，延拓至，使得.

...對,確切找到乙個，延拓至，使得.

構造完了，也證明了的存在性。

存在性和確切找到到底誰存在是有很大差距的。

在有限的情況下，我們可以逐個檢查。

但是如果為無限集，甚至僅僅是可數無限的時候，給定，可能是無法確定裡到底有誰的。