1樓：Alepha E
我這裡之前有一種解法：
請問有人知道下面求和式的證明過程嗎？
對於你提問的那個思路，我打算從尤拉給出的方法[1]，再來"猜一猜"三角級數的動機。
首先，尤拉先考慮指數求和 不定積分後就有
但是對這個再做積分就得不到了，於是需要約掉乙個x做積分。於是 Euler利用逼近法得到約為1.644924，需要展開約3萬項。
後來Euler發現這個結果帶約等於 從而打算從三角函式入手。
當初人們覺得像sin這種比較好的函式都可以由其零點和極點資訊以及乙個係數來刻畫，但是它是有無窮個零點，於是通過一頓摸索，可以總結出如下表示
接著，考慮其無窮展開的情形，至少要得和Taylor展開一致，我們有Taylor展開
然後對比一下係數，不難得證這個結果。
到這裡能看出來點思路了吧？
第乙個，對於這種級數求和的問題，就是考慮從冪級數做積分/微分來湊特定的形式，然後取特殊值點的值/極限。
第二個，一般結果帶著 的，都和圓有著一定聯絡。所以不妨拿和圓有關的函式去試試（保不齊發現新大陸）
所以第（2）項，先射箭再打靶，即先構造 這個顯然是可以通過不定積分把n放到分母下面，然後再取特殊值得到級數形式。
接著，利用Euler公式以及冪級數求和求出來它等於 ，也和三角級數部分做同樣的「積分→取特殊值」，最後得到結果。
對於其它Basel問題的歷史以及其它解法，可以參考[2]
2樓：
應該是某個數學家看到(2)後注意到它可以推出(1)，然後就寫進書裡了。
推導是不需要的，因為從(2)一眼就能看出積分後分母是平方數。
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