1樓：MarvelousJustice
這裡有一篇文章，用線性代數中的二次型和二次型的秩和正慣性係數的理論給出了二次曲面型別的推導=-=。
Boy Isolation：R^3中的二次曲面型別個數的推導及其視覺化
2樓：大臉阿望
為了回答這個問題，需要用到比較充分的解析幾何和線性代數知識。首先明確二次曲面是什麼，二次曲面就是三元二次方程在直角座標系下的影象，一般的三元二次方程可以表示為： .
其中 不全為0，叫作交叉項， 叫作一次項，c叫作常數項。
接下去用 來表示點的座標。我們知道對乙個圖形，平移、旋轉、對稱變換（我們稱為反射），都是不會改變形狀的。平移變換可以用 來表示，因為它將每個點 變為了 .
旋轉、反射都對是正交變換，而乙個正交變換能分解為旋轉、反射的復合，正交變換用Uα表示，其中U是正交矩陣。為了將二次曲面分類，我們應當利用正交變換、平移變換將一般的二次曲面方程進行化簡。
由於 ,記 ,,則三元二次方程可以記為 ,
,注意到 ，於是進一步將方程化簡為 .我們將 稱作二次曲面的表示矩陣（同理，n階對稱矩陣可以是n-1元二次方程的表示矩陣，表示形式是一致的）。
由於A是對稱矩陣，所以A可以正交相似到對角型，即存在正交陣U和對角陣 ,滿足：。先做正交變換 ,即 ，代入方程得 .記 ，則方程可寫為 .
其中x',y',z'為 的三個分量。可以看到交叉項已經被約去了。
對於方程，若 全不為0，則可配方為： ,其中c'表示配方後的常數項，下文同。只需做平移變換：
,方程變為 ，其中u，v，w是 的三個分量，下文同。若 有乙個為0，不妨設 為0，則同樣配方可得： 。
做平移變換 ，方程變為 .若 =0,則方程為 ，否則可以再進一步對w做平移可消除常數項，這裡不再具體寫出變換過程，最後得： .
若 有兩個為0，不妨設 為0,同樣可先對x'配方得： ，先做平移變換 ,得方程： ,其中x'',y'',z''是 的三個分量。
若 全為0，則直接令 ,方程為： 。若 不全為0，做正交變換 ,其中 是與 正交的單位向量，這保證了上述變換為正交變換。
於是方程變為 .再進一步對v做平移可以消去常數項，這裡不再寫出變換過程，最後得： .
綜上所述，我們發現一般二次曲面在經過正交變換和平移變換後都會變成以下曲面之一：
；； ；；.上述所有方程除了d所有係數都不為0.
，a，b，c，d全大於0，為橢球面。
，a，b，c有1個小於0，其餘大於0，且d大於0，為單葉雙曲面，或者a，b，c有1個大於0，其餘小於0，且d小於0，為單葉雙曲面。
，a，b，c，d其中兩個為正，兩個為負，為雙葉雙曲面。
，d為0，a，b同號且與c異號，即： ，a，b，c同號，為橢圓錐面。
，a，b，d同號，為橢圓柱面。
，a，b異號，d不為0，為雙曲柱面。
，a，b，c同號，為橢圓拋物面。
，a，b異號，c不為0，為雙曲拋物面。
，a，b不為0，為拋物柱面。
，a，b，c同號，為一點。
，a，b同號，即為直線 .
，a，b異號，則可用平方差公式將其分解為兩個平面方程的乘積，故代表兩個相交平面。
，a，d同號，為兩張平行平面。
，a不為0，為兩張重合平面（也可以說是一張平面）。
，a，b，c同號且與d異號，則無實解，稱為虛橢球面。
，a，b同號且與d異號，則無實解，稱為虛橢圓柱面。
，a，d異號，則無實解，稱為兩張虛的平行面。
題主所說的9種實際上是上述的1-9，是非退化的二次曲面，而10-14是退化的二次曲面，實際上是點、直線或是兩張平面（將14視為兩張重合平面就是為了統一），15-17是無實解的情況。
如何在已知二次曲面方程的情況下求曲面主曲率？
mcxzx 雖然已經有人回答地很完美了，但是畢竟打了草稿，那我也就寫完發出來了吧 首先約定符號 該文章採用抽象指標 拉丁字母 與具體指標，求和約定，具體指標中希臘字母取1,2,3，大寫希臘字母取1,2,3,4，希臘字母加bar取1,2。本文將使用億些整體微分幾何的東西。而任何二次曲面都可以寫成形式 ...
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