1樓：EdgeOfSun
我說一點數學常識。知道二進位制嗎？
1+1=0，而且既有么元又有零元還對運算封閉，它是乙個域。
為啥總有人覺得不承認1+1=2就是了不得，天大的事，這沒啥特別的，研究的很透徹了。
2樓：風君子
不是，1+1=2 並不底層也不基礎。
數學是建立在一系列公理之上的，而你說的 1+1 基於皮亞諾公理。
至於你問到的重新定義 1+1 這事兒，當然是可以的，因為數學家們早就幹過無數次了。在不同的公理體系下，看起來相同的表達確實就可以代表不同的內涵。
至於溫度的例子嘛，攝氏度和華氏度也只是一種定義，而不是本質，你大可以用類似的辦法重新定義無數個不同的「0 度和 100 度」，比如用你可以把二氧化碳的熔點定義為 0 度——只要你覺得方便就行。
3樓：柴斯基
簡單介紹一下如何在集合論的基礎上定義自然數。當然也可以直接用公理定義自然數，比如Peano公理，但是如果建立在集合論之上就只需要集合論的公理就足夠了。關於本回答的詳細內容可參考布林巴基數學原理第一冊集合論，裡面詳細介紹了如何搭建嚴格的集合論基礎。
集合論框架下的一切數學物件都是集合，從下文中可以看出自然數本身也是集合。
首先要有集合的勢的定義。如果兩個集合之間存在乙個一一對映（bijection），那麼就稱兩個集合是等勢的。給定乙個集合 ，我們可以從所有與 等勢的集合中選出乙個作為代表，稱為 的勢，記為 。
當然這裡說選出乙個代表是不嚴格的，嚴格的定義方式可參考上述書籍，這裡只是形象的解釋一下。所以集合的勢本身也是乙個集合。
其次需要定義兩個集合的和。給定兩個集合 ,選取兩個不同的集合 （這是可以做到的，比如 ）。定義新的集合 ，則 稱為 的和，記為 。
如果 無交的話，那麼他們的並其實就是和。引入 的原因也是為了讓新的集合無交。
下面定義自然數。 由於與空集等勢的集合只有空集，因此我們也有 。由於1本身是乙個集合，因此「1+1」作為兩個集合的和有定義，我們定義 。
以此類推可以定義 。可以證明 ，證明方法是在兩個集合之間構造一一對映，這裡不贅述。因此自然數其實是集合的勢，且本身也是乙個集合。
順帶著其實也定義了自然數的加法，乘法可以用集合的笛卡爾積來定義。
回到題主的問題。我猜測題主的理解是，我們有了1的定義，有了2的定義，也有了加法的定義。所謂1+1=2只是人為讓他們相等。
但事實上是我們有了1的定義，有了加法的定義，然後用他們來定義2。這裡的2只是乙個符號，我完全可以做如下定義 ，那麼這裡的 在數學上與2代表著同乙個物件，只是記號不同而已。
所以當今數學是建立在集合論之上，布林巴基集合論中給出了集合論框架需要的公理，但是比較抽象，因為是用類似於組合語言一樣的東西寫的。據我了解也有不用集合論的數學，但是是非主流。
4樓：
首先最重要的是0和1，2不太重要，是通過0和1演變而來。
對於群來說，0是必備的；對於域或者環來說，1也是必備的。他們共同構築了整個群/環/域。
我們所研究的大部分數系統，主要包括自然數、整數、有理數、實數、複數。我們對自然量的理解集中在對這幾個環/域的對映上。
回到你說的溫度。攝氏和華氏的0和1，不是我們之前講的0和1，他們確實是人為定義的。和我們講的0和1對應的是，開爾文對應正實數集。
這裡0是絕對零度-273.13......，1就是開爾文的1。
這裡著重強調一下，0的重要性是任何數+0=任何數，1的重要性是任何數*1=任何數。溫度的相加相乘在我們日常理解中沒有任何意義，所以我們也不用管什麼攝氏度的0和1，或者說這部分連數字都不是就是個表達，和數學不太沾邊；但當你把溫度和熵對應起來後，許多運算就有意義了。
5樓：LambdaGuard
首先你對於溫度的描述是完全錯誤的——因為攝氏度和華氏度的「0」都不是溫度的「0」，它們都只是在絕對溫度的右邊取了乙個零點，方便大家生活。也就是說，這兩個系統在溫度-能量圖上都是一條不過(0,0)的直線——而不過(0,0)的線性關係是不能以正比例的關係（幾倍）來論述的。如果說按照華氏度可以算出「比攝氏0度低2倍的溫度」，那麼用絕對溫度來算就是-273.
15K，也就是-546.3攝氏度——乙個表達怎麼會有兩個結果呢？
數學的基礎是一系列公理體系，在這些公理之上建立起來各種各樣的理論與學說。由公理可以推導得出一系列的定理和推論，這些理論被稱為是在該公理體系下自洽的。
所以只要更改體系依賴的公理，就可以做到更改整個體系——最典型的例子莫過於歐幾里得幾何、黎曼幾何與羅巴切夫斯基幾何，根據對平行線的規定不同，衍生出了一系列不同的理論。
理論上來說，公理的選擇是任意的——只要它們之間不相互矛盾即可。但是基礎公理的選擇的一大標準是符合常識，因為數學的研究需要有實際意義。通過更改基礎的公理，來研究乙個違背常識的數學系統完全可行，但是如果為此的大費周章（因為幾乎所有對應理論都要更改）沒能有效解決關鍵問題，那麼有什麼意義呢？
回到題目，說到1+1=2，所依賴的體系是佩亞諾公理（亦稱佩亞諾公設），絕大多數的數學理論都以此作為基礎——佩亞諾公理定義了自然數系統，而自然數正是人類對於數學最初的認識，因此它是易於理解和接受的。這個公理只是數學大廈根基的一部分，許多美妙的定理正是在這一系列公理基礎上建立起來的。
如果你希望建立自己的一套公理體系，建設自己的數學大廈——也不是不可以，但我勸你不要這麼做。因為佩亞諾公理遠不是數學理論的最基礎，下面還有集合論、邏輯學關係等等等等，更改這些除了會把自己繞暈之外沒什麼作用——或許可以鍛鍊一下邏輯能力吧。
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