1樓：beanandbean
「對稱性是初中平面幾何中的幾何對稱。圖形沿一條或多條直線翻摺，被這條直線分成的兩部分可以重合，那麼這個圖形是對稱圖形，這些直線是對稱軸。「這句話已經可以算是比較精準的描述了，若要更加精確，那麼我們就先要在給定一條直線 作為對稱軸的情況下，對於平面上的每一點 定義其對稱點 為滿足直線 為線段 垂直平分線的點（若 在 上則直接令 ）。
現在，通過純幾何方法（假設 有兩個對稱點 、 ，可先證明線段 、 共線，再證明 、 重合）和解析集合求座標的方法都可以得出如下結論
對於每一點 存在唯一的對稱點 ；
一點 的對稱點的對稱點為其本身，即 。
現在，考慮一幾何圖形 ，我們說 關於直線 對稱當且僅當將 作為對稱軸時，對於 上的每一點 ，其對稱點 也在 上。
對稱性用來解題的常見方式是，給定乙個關於直線 對稱的圖形 ，現在已知 上的幾點 滿足某些幾何關係（比如某幾點共線，某些點連線平行等等），現作這幾點關於 的對稱點 ，那麼這些對稱點往往也滿足同樣的幾何關係，且可根據 的對稱性直接得出這些點也在 上 。這樣相當於是在原圖形中引入了新的輔助點或者證明了新的幾何關係，於是就可以利用新點與原來點的某些關係進行解題。
現試圖利用上述的嚴格表述解釋問題中給出的兩道例題解答對對稱性的使用：
題1，通過對稱性證直線 過的定點在 軸上：
題2， 、 分別切 於 、 ，通過對稱性證 ：
我們先證 關於任意過點 的直線 對稱。任取 上一點 ，連線 其對稱點 交直線 於點 ，則我們知道 垂直平分 於點 。易於證得 與 全等，故 ， 也在 上。
現在，令 為對稱軸，考慮對稱點 、 以及點 的對稱點 。由於對稱操作顯然保持長度不變，我們知道 ， ，因此有 。所以， ，加上已證得的 可得出 也切 於點 。
現在，我們知道過圓外一點恰好有兩條圓的切線，因此 與 為同一條切線，即 。因此，考慮對稱軸 ，我們顯然有 。
關於空間對稱性？
已登出 粗略地講，對稱性就是在某種變換下的不變性。我們先要考慮如何描述變換，才能去考慮變換下的不變性。而Lie群在這裡正是描述變換的工具。這裡舉三個常見的例子 四維時空 相空間 態矢空間 前兩個是微分流形，最後乙個是向量空間。當然上面還有附加結構 時空上有洛倫茲度規 相空間上有辛結構 態矢空間上有完...
對稱性原則和對稱性破缺原理是否是矛盾的？
M Spectre 先說我對你問題的理解 對稱性原則 是指很多物理規律都是對稱的，即要求它們在某些變換下不變。比如牛頓第二定律就具有 連續 空間平移對稱性，連續 空間旋轉對稱性和 連續 時間平移對稱性，薛丁格方程也是。而 對稱性破缺原理 是指很多物理現象來自於對稱性的破缺，比如聲子是由於平移對稱性破...
為什麼傅利葉變換具有對稱性？
張策 數學上也並不是巧合。首先明確一點，對於實值訊號和有對稱性的純虛復訊號來說，其傅利葉變換是存在對稱性的，沒有對稱性的純虛訊號或非純虛復訊號來說不存在對稱性。這個對稱性其實就是實值訊號傅利葉變換的乙個重要性質 共軛對稱。推導的話大致如下 因為任意乙個函式都可以表示成乙個奇函式和乙個偶函式的和。而很...