1樓：「已登出」
粗略地講，對稱性就是在某種變換下的不變性。我們先要考慮如何描述變換，才能去考慮變換下的不變性。而Lie群在這裡正是描述變換的工具。
這裡舉三個常見的例子：四維時空 ；相空間 ；態矢空間 。前兩個是微分流形，最後乙個是向量空間。
當然上面還有附加結構：時空上有洛倫茲度規；相空間上有辛結構；態矢空間上有完備的內積。
1，流：
對於上面三個空間我們都可以定義流，也就是一族用乙個引數標記的（自身到自身的）對映。對於前兩個例子來說，流就是單引數微分同胚群 ，對於第三個來說就是一族線性變換 。對於某個確定的流，給定引數 ，我們就可以得到乙個對映，這個對映就是該空間上的變換，也就是說，流就是有引數 標記的一族連續的變換（如果把引數解釋為時間，那流就是系統關於時間的演化 ）。
而正如你所知道的，流形上的完備光滑向量場，與流形上的流一一對應，給定乙個就可以確定另乙個。所以，給定乙個光滑向量場，我們就可以確定一族變換。
2，保結構的流：
在我們的三個例子中，它們不僅僅是微分流形或者向量空間，它們上面還有附加結構。如果我們要求附加結構在流的變換下具有不變性，那麼可見我們就得到了該種結構的對稱性。相應的流所描述的一族變換就是對稱變換。
（1） 時空 ：保度規結構流： ，相對應的向量場 就是Killing向量場： ，其滿足Killing方程。
（2）相空間 ：保辛結構流： ，相對應的向量場 就是辛向量場： 。
（3）態矢空間 ：保內積流： ，即流為一族酉運算元 。
3，Lie群的表示：
正如上面所說的，描述變換的是流，而在保結構的流就是一族對稱變換。那麼，一般來說，流該如何得到呢？實際上，給定某個Lie群 的Lie代數，就可以在相應的空間上生成乙個流。
給定Lie群在流形上的左作用： ，給定群元 ，就確定了乙個空間上的變換（微分同胚） 。對Lie群而言，每乙個Lie代數中的元素 都可以生成乙個單參子群 。
由此每乙個Lie代數中的元素就可以確定流形 上的一條單參子群： ，Lie群的Lie代數中的元素又稱為生成元。
考慮第一種情況下的保度規變換，完備Killing向量場（若所以Killing向量場都完備）的集合與Lie群 的代數同構。在梁燦彬中冊附錄G的第七節最後給出了幾個具體的例子，其中就包括 上的龐加萊群。
對於第三種情況，Lie群 在向量空間上的作用就是 的表示了。這時Lie群酉表示與Lie代數表示的關係為：。Lie群的酉表示就是對態矢的變換，而Lie代數的表示就是量子力學中的力學量，實際上，量子力學中大部分力學量都可以用這種方式生成。
Lie群Lie代數及其表示的基本概念可以參考GTM222和GTM235,以及梁燦彬的附錄G，梁的書裡會多一些相對論中的例子和應用。
Lie群與Lie代數在量子力學中的基礎應用可以參考櫻井的第三章，溫伯格第二章，以及GTM267的16,17,18章。和Simms的Lie group and quantum mechanics。Folland場論的三四章裡也有比較精簡的介紹。
數學味道太濃的書和文章我就不推薦了。
對稱性原則和對稱性破缺原理是否是矛盾的？
M Spectre 先說我對你問題的理解 對稱性原則 是指很多物理規律都是對稱的，即要求它們在某些變換下不變。比如牛頓第二定律就具有 連續 空間平移對稱性，連續 空間旋轉對稱性和 連續 時間平移對稱性，薛丁格方程也是。而 對稱性破缺原理 是指很多物理現象來自於對稱性的破缺，比如聲子是由於平移對稱性破...
請問，對稱性如何嚴格證明
beanandbean 對稱性是初中平面幾何中的幾何對稱。圖形沿一條或多條直線翻摺，被這條直線分成的兩部分可以重合，那麼這個圖形是對稱圖形，這些直線是對稱軸。這句話已經可以算是比較精準的描述了，若要更加精確，那麼我們就先要在給定一條直線 作為對稱軸的情況下，對於平面上的每一點 定義其對稱點 為滿足直...
為什麼傅利葉變換具有對稱性？
張策 數學上也並不是巧合。首先明確一點，對於實值訊號和有對稱性的純虛復訊號來說，其傅利葉變換是存在對稱性的，沒有對稱性的純虛訊號或非純虛復訊號來說不存在對稱性。這個對稱性其實就是實值訊號傅利葉變換的乙個重要性質 共軛對稱。推導的話大致如下 因為任意乙個函式都可以表示成乙個奇函式和乙個偶函式的和。而很...