1樓：
鋰原子[1]的哈密頓量是電子的動能、原子核與電子的吸引、電子之間的排斥之和
其中 是核電荷數， 是有效核電荷數。1s軌道的波函式為
Mathematica中輸入（下同，不再贅述）\[
Psi]1[
r_,Z_]
:=1/Sqrt[\
[Pi]*
a^3]
Z^(3
/2)Exp[-
Z*r/
a]2s軌道的波函式為
\[Psi]2[r_, Z_] := 1/(4*Sqrt[2 \[Pi]*a^3]) Z^(3/2) (2 - Z*r/a) Exp[-Z*r/(2 a)]
不考慮電子間的排斥項，1s電子的貢獻是（這裡方便起見，省略了常數項 ，下同）
H[r_, Z_, Z2_] := e^2*Z2^2/2/a - Z*e^2*Z2/a
眾所周知，2s的能量是1s的
這裡，1s和2s的角量子數 和磁量子數 都為0，電子的勢函式可以表示為
V[r_, Z_, \[Psi]_] := 4 \[Pi]*e/r*Integrate[\[Psi][r', Z]^2*r'^2, ] + 4 \[Pi]*e*Integrate[\[Psi][r', Z]^2*r', ]
兩個電子的排斥作用為
U[r_, Z_, \[Psi]1_, \[Psi]2_] := 4 \[Pi]*e* Integrate[V[r, Z, \[Psi]1]*\[Psi]2[r, Z]^2*r^2, ]
鋰原子有兩個1s電子和乙個2s電子，也就是說有一對1s-1s和兩對1s-2s。因此，鋰原子的基態能量就是
E0[r_, Z_, Z2_] := (2 + 1/4)*H[r, Z, Z2] + U[r, Z2, \[Psi]1, \[Psi]1] + 2 U[r, Z2, \[Psi]1, \[Psi]2]
令 ，即令其能量最小，解得
N[Solve[D[E0[r, 3, Z], Z] == 0, Z]]
Mathematica 求解結果
這樣，鋰原子的有效核電荷數就是2.53567。
PS：這個回答可能有疏漏之處，但是結果是對的。
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