1樓：level-128
對於column space 和 row space 來說，兩個空間的維度和矩陣的秩是一樣的，
可以這麼想，對於整個矩陣的行或列來說，對行或者列中的每乙個元素任意進行線性組合，其組合出來的向量一定會在row space 或 column space中
其次，row space與零空間是正交的，也就是說對行中的每乙個向量進行線性組合，其產生出來的向量不可能出現在零空間中。column space和左零空間同理，並且它們span之後等於整個線性空間。
就不難理解為什麼是」子「空間了
2樓：寧cn
記住這句話，三維空間的子空間是平面，平面的子空間是線。
真-子空間滿足兩點
1.子集。
2.降維。
我們老師講完子空間之後我一頭霧水，看了MIT的講解，他直接在平面中畫了一條線，然後跟你說，這就是子空間。（當然，共享0元）
3樓：Captain
試著這麼理解。
子空間也是乙個線性空間，所以他必須滿足抽象的加法和乘法。也就是你給出的兩個條件。
子字型現在了它是線性空間的子集。
由於線性空間已經定義了加法和乘法運算，也就是告訴了加法和乘法這兩個抽象運算到底怎麼進行。所以子集只需要給明其是乙個封閉於抽象加法與乘法的。
同時元素零必須在裡面。
舉個簡單的例子，二維座標系下的平面構成乙個線性空間，也就是說座標系下的點是其元素。那通過原點的直線就是子空間了。
4樓：
我原來也有和你一樣的問題，現在感覺慢慢明白了一點點
但是，現在我反思一下自己不明白的原因，是因為我對線性空間的概念一直理解的不透徹。
什麼是線性空間？即對於加法和數乘封閉的向量的乙個集合！
比如平面上x軸和y軸上面兩個單位向量，他們在乙個平面上
他們線性組合（加法和數乘）可以鋪滿整個平面！！！！
三維（可以鋪滿整個三維空間）
四維，......n維。
所以對向量的線性組合（加法和數乘）封閉就是線性空間
既然線性空間就是這麼定義的，子空間這麼定義也十分自然呀，不這麼定義反而覺得會奇怪
覺得談子空間一定要針對其所在的線性空間來談。乙個七維空間的六維子空間和乙個六維空間的六維子空間是不一樣的感覺
自己感覺關鍵是為什麼要定義子空間！
應該是很有用吧~~~~
子空間有什麼作用?感覺子空間和基還有矩陣的秩有著深刻聯絡。在求乙個矩陣的列向量所在的子空間的維數的時候，就是通過判斷矩陣的秩來判斷的。
如何構造這個矩陣子空間也是通過利用列向量的基來的。然後還可以根據子空間來擴充基，最終構造出來整個線性空間。
這對於很多事情就容易理解了。
為什麼有時候Ax=b是無解的。因為Ax可以看作A的列向量的線性組合，然後A不是滿秩矩陣，所以A的列向量的線性組合構成了線性空間的某個子空間，而b這個向量沒在這個子空間裡面，所以就沒有解了。
比如：三維空間（立體）的乙個二維子空間是乙個過原點的平面，即Ax，但是b在三維線性空間裡面卻不在這個平面上面，即不在這個子空間上面。所以就無解了。
再舉乙個例子，好像也就是通過線性代數來闡釋最小二乘法，還是上面的問題，既然上面的是無解的，那麼我能不能求出乙個最接近的結果呢？答案是可以的，那就讓b在這個二維子空間上面投影（線性組合，因為b在平面上的投影肯定在平面上），這樣就肯定有解了，而且這個解是最接近Ax=b中的x的。
還有Ax=0；矩陣A的列向量組成的子空間，和x組成的子空間合起來正好是整個線性空間！
5樓：薛凱
若W 是線性空間V 的非空子集，且W 是線性空間，則W 是V 的子空間。若W 滿足上述兩個條件，不難證明W 滿足線性空間的八條公理，即W 是線性空間，也即W 是V 的子空間。
6樓：安陽
雖然我不太懂線性代數，不過你說的subspace可以去看下網易公開課 mit的線性代數課程，裡面有關於subspace非常好的解釋。
其實你仔細看你發的關於子空間的定義，
設是線性空間的非空子集，則是的子空間的充要條件是：（1）若，則；（2）若，則。
比較直觀的理解，就是子空間中的向量，經過線性變換之後，還是在子空間中，就是說，子空間中的向量運算在子空間中是封閉的。
這個定義可能跟後面這乙個知識點 Ax=0，和Ax=b有關吧詳細的話，還是推薦看下，網易公開課 mit的線性代數課程。
7樓：芮彪
子空間啊，比如說二維平面中的一條線，三維空間中的乙個平面。推廣到高維只有靠這樣的定義了。如果你不清楚的話可以這樣看，W是V的子空間，如果W作為集合是V的子集，並且W自身又是線性空間。
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