1樓：Malygos
你說的歧義大概是因為上標，和愛因斯坦求和約定沒什麼關係……
當然，就書寫而言，求和約定也並不是什麼好東西。寫個Sigma就一筆的事。不過latex碼字倒是能輕鬆一些。
至於這套東西能沿用下來，估計是做張量分析和微分幾何相關的人閉門造車的傳統。在主流數學都把上標作為一種運算子表示指數的時候，偏偏要把上標做指標。
2樓：
樓上答案很好，這裡給乙個簡單版本的回答，因為愛因斯坦約定其實是一種求線性空間和它的對偶空間中兩個向量（張量分量）的內積的簡化寫法。求內積當然不會用到第三個指標（涉及到第三個向量）
那麼為什麼會專門發明這個約定，因為物理過程不會因為改下參考係就不同，這就導致物理中很多方程是對於so(3,1) 變換不變/協變的。對符合協變的向量，張量分量求內積的結果也是so(3,1)不變的/協變的。於是這種求內積的操作會被頻繁用到，發明乙個簡化寫法的約定也是理所當然。
所以，如果只是單純的理解為相同指標求和，並且在很多其它的領域使用，那麼覺得這個約定會有各種各樣的問題也是非常正常的。
3樓：mcxzx
你是得對愛因斯坦求和約定多恨才會說出這種話 。。。
我接觸張量分析這麼久以來就沒有遇到過正確使用協變形式備註不採用求和約定的。數學物理界也不會傻到使用乙個容易增加歧義的記號直到現在，在記號被正式採用前都是經過嚴格論證的。
先重新描述一下愛因斯坦求和記號：
在同一項中採用相同符號寫1上指標1下指標代表對這兩個指標進行縮並(分量形式下就是求和： )
那你可能會問：那若一項內出現多個相同指標 呢？ 呢？
我可以很負責地告訴你，這些東西不會出現在協變語言中，因為很明顯，這些東西都不是協變的(它們不屬於張量(更不是標量))。
求和記號約定並不是簡單地表面地僅僅是簡化算式，而是反映了協變的內在性質。要使縮並後的東西還是張量中的一員，則必須像這樣縮並1上1下指標。這種約定不僅被具體指標分量表述所採用，更是沿用到了微分幾何的抽象指標幾何語言。
1.記號約定：(帶波浪號代表共形變換後)
代表原流形類光測地線， 代表它的切矢
原流形類光測地線約束條件：
類光測地線切矢的縮並
令 為新舊導數算符的聯絡，
令 為重引數化後的 ： ，並具有切矢 。令 為定義在N上(γ的鄰域)的向量場， 滿足
那麼可得 ，
那麼：因為 可以為任何值(重引數化的任意性)，那麼可以要求 ，
那麼 ，Q.E.D
(我想你現在應該發覺求和記號約定的重要性了)
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