1樓：Xipan Xiao
這裡有個初等的證明：
我翻譯一下：
因為不需要光滑性，可以假定S是由點線面構成的多面體表面。選擇乙個和所有的面不平行的方向v。S外任意一點p，以p為起點v為方向的射線L(t)=p+tv，和S的交點個數，如果是奇數，就把p塗成白色，否則塗成黑色。
如果L和S剛好交在一條稜上，則因為一條稜總是兩個面的交點，所以p附近的點，它的顏色不會跳變，就取它附近的點的顏色即可。
這樣子把S外任意一點染成了黑白兩色。注意到兩點之間如果有一條（不穿過S的）路徑連線，則顏色一定相同（可以選擇路徑使得射線避開多面體的頂點，而射線掃過稜的時候，顏色不變）。
然後在穿過S的一條射線上，靠近S的地方取兩個點p和q，這兩個點顏色一定不同。
然後S上有莫比烏斯帶，可以將乙個短的法向量滑動到同一點的相反的方向，這個法向量的終點畫出一條不穿過S的路徑，開始於p，終結於q。所以p、q顏色必須相同。矛盾。
2樓：
克萊茵瓶入口即是出口，且瓶邊界面無交點(輪胎不是，它入口還是入口)， 在三維空間裡，比如某寶上可以搜到賣克萊茵瓶的，而這些你能看到的「克萊茵瓶」都是假的，它們總要穿過自身才能做到入口即是出口。四維空間里克萊茵瓶存在，最簡單的克萊茵瓶你可以自己做出來，左手圈出乙個圈做入口，右手圈出乙個圈與左手圈重合，向下移動右手再翻轉一百八十度向上移動與左手圈重合，這個過程裡就是乙個克萊茵瓶，原理就是在原有的三維空間裡，加入了時間做第四維。
3樓：
關鍵在於不可定向，如果你在三維空間中轉一圈，發現左手變右手了，那一定是見鬼了。
Klein瓶可通過將乙個矩形的邊緣按編號粘起來而得到。
所以，在允許相交的情況下是可以在三維空間構造出來的，但不相交就不行了，不信你試試就知道了。
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