1樓：慕容朝顏
我是來搞笑的。
系裡做分析的教授循規蹈矩，從不遲到，喜歡列計畫......有的恨不能說話都列個123
所有愛遲到的學生都是做代數的╮(￣▽￣"")╭，然而他們很靈活，記憶力相當好(代數裡的名詞在我看來真的很多)
做幾何的沒有太大印象，偏分析和偏代數好像差很多。嗯……做方程的基本打不到照面，不說了就
做組合的在我眼裡都是外星人，彪悍到不能理解腦迴路的存在(我一點都不喜歡組合，然而我導師喜歡)
做拓撲的......全系最稀有但最吵╮(╯_╰)╭，很扎堆，和代數代幾的人走的比較近但是總有種黏糊糊的跟哪個領域的人都扯一扯的感覺(其實感覺代數更粘糊更扯的)
做數論的，容我心裡一句臥槽，似乎心算比我按計算器都快的，抓抓後腦勺就掏出乙個數，完全給跪.....私以為這個方向很考靈感和智商，至少我是覺得一直在被證明愚弄
只是說一點自己的觀察，樣本不夠大完全沒有普遍性......然後我是做拓撲的()
2樓：Langxuan Su
上學期上了一門概率，教授在課上講了概率學家和分析學家的思考方式，感覺很有意思。
概率是由測度論定義的，乙個概率空間 就是測度空間加上 而已。本質上，概率論可以被稱作「有限測度空間的研究」，而測度論本來就是分析的基礎之一，概率論也可以被看作分析的乙個分支。當然，這種看法和把數論看作「對字串的研究」，把偏微分方程看作泛函分析的分支差不多。
分析學家和概率學家對隨機的處理方式和思考方式很不一樣。分析學家會主要會用一般分析的技巧去研究隨機變數的分布函式和特徵函式，而概率學家的核心思想是「資訊」（可測性）的變化。
在概率論, 中 是被理解為「所有可以通過隨機變數觀測到的資訊」，而乙個很自然的情況就是某個隨機變數只能觀測到一部分資訊，為了描述這種情況，就出現了條件期望的概念。教授的原話：conditional expectation is what distinguishes probability from other subjects.
而把概率放在測度的框架下最大的原因就是為了保證條件期望的存在性。研究隨機過程的時候，還需要描述隨「時間」變化而增加的「資訊」，就有了filtration。有了隨「時間」變化而增加的「資訊」之後，想要可以把隨機變數「限制」於某個特定的「時間」，就有「停時」 (stopping time) 的概念。
然後，概率學家發現了一類對時間和資訊變化性質良好的隨機過程，叫做「鞅」 (martingale)。在定理證明和解決問題裡，乙個通用的技巧就是定義乙個停時，讓這個隨機過程或者隨機微分方程 (SDE) 在這個停時裡性質良好，這個性質通常是鞅性質，然後利用鞅的各種收斂、不等式、optional sampling、It's formula等等，得到想要的結果。本質上，這種技巧也是概率學家對「資訊」變化的深刻理解。
我之前也貼過幾個簡單的證明，可以用來感受一下： Langxuan Su：你見過最巧妙的數學證明是什麼？
還有乙個比較有意思的地方就是SDE和PDE的聯絡，這個我還沒學到，這學期上隨機微積分 (Stochastic Calculus) 應該會有所接觸，先截一下教授筆記上的一段：
當然，最厲害的肯定是能夠把概率學家和分析學家的思考方式融會貫通的研究者。
3樓：dhchen
在偏微分方程上，兩種分析是相輔相成的，據乙個簡單的例子吧：考慮乙個方程 的解，那麼一開始你就面臨乙個選擇，你是用變分法和最優化理論來解，還是依靠運算元理論來處理， 後者還分為單調運算元理論和不動點技巧（我把連續性方法歸類為一種不動點技巧），這時候就需要你能選對方向，這是一種近乎直覺的「敏感」，也就是說在大思路的選擇上，很多時候是一種抽象化的軟分析。 好了，假設你選定了單調運算元理論，那麼你需要選取乙個空間 ,然後證明是 上的單調運算元，這個很多時候涉及其實是你「硬分析」功底如何，比如最常見的 拉普拉斯運算元:
,我們要證明它的單調性，本質上就是證明乙個不等式：
這個不等式本質就是「數學分析」的乙個習題。 難嗎？好像不難，可是簡單嗎？額，好像也不trivial。
如果你分析的硬功底不過關，那麼是做不動具體問題的。再比如，偏微分方程中的各種估計，本質上就是乙個看計算功力的事情，和你觀點高不高沒有關係，觀點再高，你得有能力算下去。方程就像乙個熔爐，需要很多的技巧混合在一起，偏重一方都不能走遠。
我提醒所有正在學分析的朋友，一定要在學完乙個抽象大定理後去尋找對應的應用，否則你會雲裡霧裡。本質上這些大定理也都有有對應的應用的，只是你能不能找的問題。
說到方程，那就更是水深似海，不同方向的人雖然都在做偏微分方程，但是涉及的核心理論是不同的。有些人依靠的是變分理論，有些人靠的是運算元理論。 不同型別的方程根據本身的特點所依靠的核心理論是不一樣的，做橢圓方程，做拋物方程和做麥克斯韋方程不是一回事，他們用的空間都是有區別的，橢圓方程一般就是sobolev空間 ，拋物型方程需要學習值在Banach空間中的可測函式 ，麥克斯韋方程則需要學習 這看起來怪怪的空間。
由於方程的實用主義特質，幾乎是黑貓理論的施行場，什麼方法都有，只要能解決問題就好。所以，方法很雜，學起來需要做好自己的歸納總結，免得學亂了。所以乙個人如果不同類方程都做一下，他／她就好像什麼都懂一點，本質上也是被逼出來的。
4樓：Yifan
補充回答幾個問題：
1. 組合難不難？
這個是因人而異的，沒有乙個數學方向顯著的比其他方向難，也沒有方向顯著的比其他方向容易。相對的，選擇做組合的人肯定會覺得組合的思想更容易接受，選擇做幾何的肯定更容易接受幾何的思想。
2. 組合算純數還是應數？
這個問題其實我們並不太關心。不過我之前在Quora（或者stackexchange，記不清了）上看到有人回答過這個問題：在澳洲和加拿大，組合算作純數。
在美國，除了MIT，也算純數。MIT因為一些歷史原因把組合算作應數。還有就是有時候，組合和組合的差別，可能比代數和分析的差別還大。
3. ...想申請組合的PhD？
一定要找老師幫你make list。因為很多學校有很好的組合學家，但是那個學校可能並沒有組合的research組（比如兩年前的UCLA）。很多偏愛分析方法的組合學家，可能在分析組裡；偏愛代數方法的組合學家，可能在代數組裡。
至於分析代數用的都很出色的，可能在數論組裡。還有一些匈牙利風的組合學家，可能在概率組裡。
4. 組合是不是高中數學？
剛才提到了組合和組合的差別比代數和分析還大。確實有匈牙利風格的組合，可能很像高中競賽。但是並不代表匈牙利風的組合簡單，比如density HJ Theorem最初的方法是動力系統，證明很複雜並且只能給出上界的存在性。
然後陶哲軒和Gowers組織了一批組合學家終於把這個定理的純組合證明（可以理解為高中競賽風）搞出來了，並且新方法可以成功的給出乙個最好的上界。這個也是Polymath計畫完成的第乙個問題。
－－－－－原回答
我是做組合的。組合這個學科的特點就是比較雜，幾乎沒有核心的思想或者技巧。例如，雖然離散幾何也是在做歐式空間的幾何，但是卻很難直接應用幾何的結論，因為很多連續上深刻的定理在有限，離散的意義下就突然變得顯然了。
我認識的做組合的數學家或者PhD裡面，乙個很大的特點就是大家接受新知識的速度非常快（當然做別的方向的應該也是這樣），大概是因為你永遠不知道手裡做的問題需要數學哪個分支的知識解決吧。一般來說，如果我們想確定乙個值，上界通常是用代數方法構造的，下界是用分析方法估計的。比如我們考慮下面的問題：
平面上 個不全共線的點，至少有多少條恰好過兩個點的直線？一般我們會想，把其中 個點放到一條直線上，另外乙個點不共線，得到有 條恰好過兩個點的直線，應該就是上界了。但是組合學家看到這個問題，就會用代數幾何的基本知識構造乙個只有 條這樣的直線的例子。
至於這個問題的下界，一些我很喜歡的組合證明中的第一題給出了下界大於 的證明。看到這個證明你可能會覺得，這不是競賽題嗎。是的，放到現在這個問題的難度應該不超過初中競賽，但是在找到這個證明方法之前，最初的證明方法是通過 空間的性質強行計算出來的，非常複雜。
另外，最近的Graph limits理論，就是把圖放到Banach空間中分析，得到連續、無限圖的性質，再拿出來近似有限圖，也挺有趣的。
最後要說的就是我朋友們那，令人驚嘆的，構造反例的能力。前幾天我問坐我旁邊的小哥，如果圖 的genus是 ， 那 的genus的上界是不是 ？小哥看了我5秒鐘，就給我找了乙個反例：
，每乙個piece的genus都是 ，underlying graph 的genus也是 ，但是這個圖genus是 。
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