為什麼可以用萬有引力定律公式計算地球對衛星的吸引力？

1樓：shinbade

簡單說，對於把地球看成質點，這並非是出於忽略誤差的「近似」處理，而是因為，你用乙個質點也好，用乙個大球也好，在計算引力時，這兩種情況是等效的。

理論上可以嚴格證明其等效性。

你們老師可能這地方說的不清。

2樓：shawn

你的想法非常好，我們中學學的萬有引力公式，確實是乙個質點模型，也就是說，只針對質點來計算萬有引力的。學物理就要有這樣的思考精神，不能想當然的瞎胡亂推，既然是針對質點的公式，憑啥就能用來計算球的萬有引力？

所以，你的問提其實是，對於乙個有質量的大球，應該怎麼計算萬有引力？

我們先讓問題簡化一下，假設地球是乙個半徑為a，密度為的均勻球，那麼地球的質量就是在球的外部有一顆衛星，距離地球球心的距離為R，質量為m .

我們可以很容易明白，在地球上的每一點，距離我們衛星的距離都不一樣，也就代表其萬有引力並不一樣，地球對衛星的萬有引力，實際上是這些所有質點的合力。

那麼怎麼計算這個合力？把無數個質點的力都算出來，然後再做受力分析？很顯然這麼算你這輩子都算不出來。

所以，這裡就必須用到微積分的思想。由於篇幅有限，我就不再重複介紹微積分的概念了，請自己先去學習微積分初步，最起碼要弄清楚微積分的邏輯內涵，否則你仍然理不清楚這之間的邏輯。

我們可以這樣計算，先在地球上取乙個非常小的一塊，我們在地球的球心建立乙個球座標系，那麼這塊距球心的距離為r, 和y軸的夾角為和y軸之間的夾角為 , 這樣我們就計算出這一小塊的體積為：

然後我們就可以算出這一小塊對於衛星的萬有引力 dF

計算出了dF ,我們可以看到，衛星和地球之間的萬有引力，實際上是沿Z軸垂直向上的，因為球體是對稱的，在我們選取的地球上質元沿Z軸對稱的位置，一定有乙個一模一樣的質元，對於衛星的萬有引力也為dF, 而方向相反。所以，沿著X軸，Y軸的分立會相互抵消。最終實際上是dF沿z軸的分力，即

這樣，只要把地球上所有這些微小質元的力加起來，就能計算出地球的萬有引力。這就需要用到積分，即：

常數直接提出來

這樣就可以一層一層積分了最終計算的結果就是:

所以經過分析和計算，發現，乙個均勻球體對乙個質點的萬有引力，實際上就等於這個球的全部質量集中在球心的乙個質點！

這就是為什麼我們可以用質點的萬有引力公式，來直接計算球體的萬有引力。不是說我們不管是球體還是質點，嚇唬亂用，而是經過計算，發現球體的萬有引力，實際上和球心質點的萬有引力相同。

這個原理，實際上牛頓早就發現了，我們稱之為殼層定理：

球對稱物體對於球體外的重力貢獻如同將球體質量集中於球心。

在對稱球體內部的物體不受其外部球殼的重力影響。

利用上面我提到的微積分的思想和方法，利用質點的萬有引力公式，就可以自己去證明殼層定理。

圓盤的計算，圓環的計算，球殼的計算，都是微積分最經典的計算問題，帶入萬有引力公式，和密度，體積，質量之間的關係，就很容易計算取各種萬有引力，從而自己證明球殼定理。

然後你可能又會問，那麼如果是不均勻的咋辦？

不均勻的球體，就沒有統一的標準公式了，但是你主要到在上面的計算中，作為常數，被直接提到積分外面了嗎？

如果是不均勻球體，就不在是乙個常數了，這個時候，你就不能直接吧它提到積分外面。

怎麼辦呢，你只要找到和半徑的函式關係，然後帶入積分公式進行積分就可以了。換句話說，就是找到密度的分布規律，然後積分。

3樓：樂恩

牛頓當年也被類似的問題困擾，所以他發明了微積分以解決橢圓軌道問題以及非質點類問題。

衛星問題，可以用微積分證明，與把地球看成乙個質點是等效的。

4樓：

一般情況下確實只有物體和引力源距離很大的時候才能近似把引力源視為質點，但是一些特殊情況下可以例外。

古典力學中有乙個殼層定理，球對稱的物體對其外任何地點的物體引力都相當於球殼質量集中於球心。嚴格證明需要用微積分，大致思路是先求乙個扁平圓環盤的引力，再將大量環盤疊加求乙個圓盤的引力，最後將大量圓盤疊加成為乙個球。

當然，實際人造衛星發射時會計算各種軌道干擾項，包括其它天體的引力，地球表面密度不均勻造成的引力誤差等等。一般會保證誤差不超過乙個範圍如。

5樓：胖胖大叔

要是不能用來計算，還要物理學幹嘛？物理本來就是用來近似模擬現實的學科，在一定範圍內某個公式可用，誤差可以接受就用了，不能接受就換乙個。