1樓：鐵爪留痕
基於幾何表示及基準變換的整合邏輯科學已經把特定邏輯思維主體導致特定邏輯結論數學化了。這也是人機對話互動邏輯科學機械人平台的出發點
2樓：形神邏輯
你這個問題提得非常到位。確實，自從2千3百多年前古希臘哲者亞里斯多德用語言分析法歸納出了古典形式邏輯以後，近代除了把命題演繹符號化、公理化、數理化之外確實沒有什麼新發現。命題判斷還是『一些ヨ，所有，肯定、否定，並且∧，或者∨，如果→、那麼←』4對共8個。
後來2百多年前德國哲學家康德所加的4個其實全都不是命題判斷。為什麼會這樣？
現代物理學/數學全都是在『形式邏輯』的基礎上發展起來的。不管怎麼『顛覆了人類許多固有的認知，完全超越了人類的直覺』，現代物理學/數學其實還是不完備的，還有非常廣闊的糾錯、發展和完善的空間。
你既然提到了數學上的連續概念，那我就舉乙個這方面的例子來具體說明一下我所說的『不完備』究竟是什麼意思。
關於『無限連續』的定義問題，形神邏輯有如下的定義：
在三維空間中任意給定一點，從這點出發可以作任意方向的延長，而且可以於任意處停止後再原路返回。
反過來理解就是：只要有乙個方向不能夠延長或者延長之後來路被隔斷而不能夠「原路返回」的話，都不能夠被認為是無限連續。
哲學定義式：無限連續=無限順續+無限逆續i；符號式：=→+←i。
可見無限連續是在「無限：—=│+(│)i」的前提下加入「順、逆」兩個相反方向的限制而定義的。
1、無限連續是在「空間三維無限」的假設前提下定義的連續。
因為如果沒有「空間三維無限」做前提，那麼「任意給定一點」和「作任意方向的延長」都是不可能的。
2、無限連續是乙個性質範疇概念而不是乙個單獨性質概念。
因為如果設「作任一方向的延長」的符號為：→，「原路返回」的符號為：←，則無限連續的符號便為：。
因為→和←是方向互反的，即就「方向」這個性質而言，順逆兩個方向全無重疊，所以、→、←三者可以構成為乙個性質範疇，用哲學複數式表達就是：連續=順續+逆續i，即=→+(→)i=→+←i。→為實正，←為虛反，而為復合。
於是也可以把一般的性質範疇或簡稱範疇定義為：合=正+反i或復=實+虛i。這裡先就「復、實、虛」作點解釋：
既然→是指實實在在地走了過來，那麼就只要虛虛地一想而不用再實實在在地回頭走就可以知道必然能夠走回去←，所以→為實時則←便為虛。為復就是→實←虛重疊在一起的意思。當然了，這種複數式不僅僅是形式上的表達，同時也具有實質上的運算意義。
這在範疇篇中將有詳盡的論述。至於「 合、正、反」的意思就是正和反成對出現，並無第三者，這與集合論「並∪」關係中可以多個物件並列的情況是不同的。這些在第二部建立形神邏輯中將有詳盡的論述。
作為對照，在希爾伯特的《幾何基礎》中，則僅僅從一條直線的乙個方向上定義了連續。
例如，作為希爾伯特-歐幾里得幾何系統公理表中的第四組公理，Ⅳ1.(阿基公尺德公理) 設AB和CD是任意兩條線段，則在直線AB上存在著有限多個點A1，A2，…，An，使得A1在A和A2之間，A2在A1和A3之間等，並且線段AA1，A1A2，…，An-1An都合同於線段CD，而B在A和An之間，如下圖1所示。
這個連續定義的意思是，用任意有限長的直尺去測量任意一條有限長的直線時，總可以用直尺一段一段地接駁著去測量，而且總可以把那條任意直線的長度測量出來，即用接駁次數乘以尺子總長度再加上乙個零頭來表達其長度。
就是說，這個連續的定義是從測量總能夠進行下去的實踐經驗中抽象出來的。
還有，這個連續公理從字面上看好像是以有限連續直線AB和CD來定義無限連續，但實際上卻是在「用三維無限連續為前提來定義一維無限連續」！就是說，它其實並沒有說清楚「無限連續」究竟是什麼。為什麼這樣說呢？
請看「設AB和CD是任意兩條線段」這句話。一方面，AB和CD本身就是通過兩點作限制從連續的直線中界定下來的「有限連續」直線段，另一方面，這「連續的直線」也是從各向連續的立體空間中界定出來的。就是說AB和CD的獲得，實際上是以「三維無限連續」為被界定者的，而且還暗中用了「限制連續」概念來作為界定者。
再回過頭來看看開節所述的「無限連續」的定義，可知無限連續本身就應該是三維的。除了正反方向之外沒有任何別的限制，而且正反兩個方向也被復合抵消了。這才是真正的哲學意義上的無限連續概念(邏輯混沌)。
而連續公理(阿基公尺德公理)中表達的「可連續測量」僅僅是乙個以「無限連續」和「限制連續」兩概念為前提定義出來的「有限連續」概念，即是乙個實用的數學上的連續概念。這個連續公理只是在說：「物體總能夠被完全尺度」而已，絕不是在揭示能夠被尺度的根本原因：
「連續」本身。只知其然而未知所以然。
這裡的：=→+←i，才是「連續」本身！
有限連續=無限連續+限制連續i是體本範疇。體本範疇是形神邏輯的唯一前提範疇，它涵蓋著全部的邏輯真假命題與邏輯對錯詞項，根據它就可以推導出形式邏輯和內容邏輯，即推導出形神邏輯。[這裡就先不細說了]
通過這個例子，你可以預估到，以後在數學的公理體系方面，一定要向更加完備的方向修正發展。於是物理學相應的也一定會向更加完備的方向修正發展。
【你能夠隨意劃線就已經表明了空間本身就是「無限連續」的，至於你用什麼有限的圖形或符號來定義這客觀存在的「無限連續性」，則是認識上的方法問題。《本體論》用的是基於「粒子」的「構成法」；《本變論》用的是基於「限制」的「範疇法」。
例如數學上對「連續」作定義的「阿基公尺德公理」，就是基於「粒子」的，「尺子CD」(粒子)重複接駁量度「組成」另外一條線CDCD...來與「待測量線段AB」作「組成」比較的結果(CDCD...總能包含AB)來定義的；而本變論的定義是基於「限制」的：
連續=順續→+逆續←i。即正反性質的同域復合。前者是測量技術性定義，後者是哲學根源性定義。
】
3樓：
根據康德來說，邏輯是先天的，但物理學是依賴經驗的。
所以邏輯的全部證據都已經明了，自然不會有太多發展，是「已完成的學科」。
但康德覺得數學也是先天的，我很想知道他看到現代數學會有何反應。
以上所說是日常語境下的邏輯，如果說現代的數理邏輯，那更多的是一種formalize and reason about things的數學工具，而不是一切真理的檢驗標準這麼高階的東西。反過來想也很好理解，（哲學意義）邏輯的強大在於其絕對的普適性，所以它的內容相對的必然極少。經典邏輯來說，MP規則，矛盾律和排中律，這三條都是具有極大的必然性的。
現代數理邏輯的公理，定理就沒有這種「必然性」。
身為休謨黨，最後說一句休謨世界觀下怎麼解釋這個問題。邏輯的力量在於必然性。因此，邏輯必然是在幾乎所有的經驗中歸納得到的，對幾乎所有經驗同等的適用。
假設新的一條邏輯公理的存在，如果它有同樣的必然性，那麼它就必須與其它邏輯公理同洋地普適，那麼我們沒有理由只發現了其它的而單單忽略了它。反過來，因為它尚未被發現，它就不可能具有現有的邏輯的普適性，那麼它自然就不能具有同樣的地位，躋身邏輯的行列了。
4樓：
如果是沿著直覺主義邏輯（intuitionistic logic）的發展路徑來說的話，目前是同倫類型論。科普的話可以看Gilles Dowek《計算進化史：改變量學的命運》，介紹了同倫類型論之前的進展。
5樓：Trebor
注意「直覺邏輯」（intuitionistic logic）是一種比經典邏輯更精細的邏輯，去掉了排中律。
直接證明/反證法/數學歸納法這三種方法完全不是乙個層次的，就好像是說「為什麼現在吃飯還是只有用手抓和用盤子裝兩種方法」一樣。數學歸納法可以說是自然數的二階邏輯性質（如果沒有的話，一定會存在非標準自然數模型），或者說是歸納型別的消去法則；而反證法是經典邏輯的性質。
題主說學過符號邏輯，那麼請問是否思考過邏輯系統的一些性質？比如，沒有任何公理的情況下，是否能推出矛盾？是否存在乙個生成任何真命題的（形式）證明的演算法？
對於謂詞邏輯還是這樣嗎？再者，對Modal logic有沒有了解？BHK-interpretation呢？
是否思考過「證明」是什麼，需要滿足什麼性質？
不過上面那些似乎也有些年代感了（應該都是90年代以前的東西？）。
6樓：
說明題主大學沒有好好聽課，或者題主大學教的東西和現在用的東西有巨大出入，要麼就是只接觸了最最基礎的命題邏輯。
三段論僅僅是一階邏輯（甚至命題邏輯也）可以刻畫的所有推理之中的一小部分，弗雷格的量詞系統讓符號邏輯可以表達的東西遠不止「all A are B」和「some A are B」這幾種，更不要說「以三段論為核心」了——弗雷格的整本《算數基礎》的核心公理（也是最為人知的）「basic law V」就是乙個完全不能以三段論的形式刻畫的例子，而《算數基礎》的第一卷早在2023年就已經出版。
除了量詞運算元之外，lewis也於2023年在他的《A survey of symbolic logic》裡面引入了strict implication算符，各種模態運算元也由此誕生，其功能比三段論要大十萬甚至九萬倍，為何題主會有「邏輯學還是最原始的三段論」這種毫無根據的認知，我暫且蒙在鼓裡。
至於歸納問題，本人完全不懂，但是sep隨手一搜有這麼困難嗎？我建議題主熟讀弗雷格聖經一萬遍完成大腦公升級，再「問問題」。
以上為原答案。
我雖不懂現代邏輯學的研究具體是如何的，但是鑑於題主對邏輯學知識的匱乏，我不認為我可以給題主解釋一百年前的邏輯學的發展程度，因為題主對邏輯學的誤解多於知識。我認為題主想要弄明白這個問題最需要的是學習基礎的邏輯學知識，而不是到知乎問。
另外，你說的那個「直覺邏輯」是乙個專有名詞，是一種和kripke的S4同構的非經典系統。
題主讓人放寬要求，但如果你真的自知完全不懂那為何要給那一堆指點江山的描述，本人肥腸懵屄，看來知乎精英的常規操作就是嚴以待人，寬以律己，可以，這非常精英。
噗，被逗笑了。
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