1樓：
前一道題，如果 不是第一綱集，就必然是某處稠密的【如果不是某處稠密是稀疏的，那就是稀疏集（ 本身就是）的並】。之後的參考共鳴定理證明，裡面有「若 在某處稠密，那麼 」（共鳴定理裡是由「 是第二綱集」得到構造的某個有界集合的逆像「在某處稠密」進而繼續論證的）。沒記錯的話是這樣。
證明就不寫了。
後一道題， 也是緊集所以 作為緊集上的連續函式必取到最大值。
2樓：stranger
我可能乍一眼看，是你對第二個有問題，所以寫了關於第二個的內容emmmm緊集的等價定義是，其為pre compact和closedpre compact是說，從集合裡面取點，當任意的union of B(x,r)可以把這個集合覆蓋時，則可以找到有限個B(x,r)覆蓋。
因此你可以在這有限個B(x,r)中，找到乙個x 乙個y各自為B(x,r)與B(y,r)的中心。因此，原集合任意兩點的距離一定不大於d(x,y)+2r。
在原集合裡構建數列，(xn,yn)有d(xn,yn)<=d(xn+1,yn+1)
d(xn,yn)單調有界，且因原集為閉。
一定存在（x,y）使得這個取最大
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