1樓：石禕
先說結論，8階群共有5個。
3個Abel群和兩個非Abel群。
證明如下∶Abel群不必贅述了，8=2^3，3的分劃數是3，那麼共計3個Abel群，分別是Z8、Z2⊕Z4、Z2⊕Z2⊕Z2。
接下來要證明非Abel群只有二面體群D8和Hamilton四元數群(Q8)。
群G為8階非Abel群，故一定存在4階元a，取元素b，b不屬於＜a＞，那麼G=＜a＞∪＜a＞b，所以b^2=e或者b^2=a^2。
另一方面＜a＞顯然是G正規子群。用b去共軛a，b^-1ab∈＜a＞，那麼b^-1ab=a或者b^-1ab=a^3。
不難看出「b^-1ab=a」是不能成立的，因為如此，意味著a與b可交換。無論b^2=e或者b^2=a^2，G都將成為Abel群。所以只能有b^-1ab=a^3。
i)b^-1ab=a^3，o(a)=4，o(b)=2。
ii)b^-1ab=a^3，o(a)=4，b^2=a^2。
對於i)這顯然是二面體群D8，而ii)是Hamilton四元數群或者說Q8。
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