1樓：
如果是實數的加法，那麼定義實數的時候通常要求實數集合是乙個域，交換律是公理
如果是自然數的加法，自然數是用peano公理定義的，加法交換律可以用peano公理推出來，好像有人寫了。
2樓：Egregium
這個問題比較複雜，需要牽扯到自然數的定義，我們一步步來。
一、自然數的定義和Peano公理
所謂自然數，就是從從人類的計數中抽象出來的東西。我們可以用Peano公理作為自然數集 的定義。
Peano公理
公理1：0是自然數。
公理2：對於每乙個自然數 ,都有唯一的後繼數,且 也是自然數。
公理3：0不是任何自然數的後繼數。
公理4：不相等的自然數的後繼數也不相等。
公理5：如果乙個集合 ，滿足 ,且若 ,則 , 則 。
我們來逐條解釋每條公理的作用。公理1給出了計數的起點，公理2告訴我們每乙個自然數的下乙個數是什麼，一般地，我們定義 ，公理3和公理4保證了計數的過程不會發生迴圈。到這裡我們似乎已經把自然數的全部特徵都包含了，那公理5的作用是什麼呢？
事實上，公理5保證所有自然數都可以由0通過不斷取後繼數的操作得到，換句話說，自然數除了0,1,2,3,...以外沒有其他的東西。公理5也保證了數學歸納法的正確性，因此也成為歸納公理。
二、自然數的加法定義
定義（自然數的加法運算）
設 ,定義 ,如果已經定義了 ,則定義 。根據Peano公理，我們定義了乙個自然數集的二元運算。
根據自然數加法的定義，我們可以證明以下兩個性質。
性質1（加法結合律）：
證明：對 做數學歸納法，注意到 .當 時， . 若當 時成立，則
性質2（加法交換律）：.
證明：對 做數學歸納法。當 時，我們可以歸納地證明 . 同理可證 .若當 時成立，則
性質3（消去律）：,若 ,則 .
證明：對 做數學歸納法。
三、整數
定義（群和半群）
設 是乙個非空集合，有二元運算 （通常寫成乘法的形式），若滿足
1、 .（結合律）
2、 （單位元）
3、 （逆元）
此時稱 是乙個群。如果只滿足第一條，則稱 是乙個半群。
根據第二節的性質，我們發現自然數集在加法運算下，只滿足第一條和第二條，所以此時自然數集只是乙個半群，因此我們希望擴充成乙個群，此時加法就成為乙個可逆的運算。因為單位元和逆元都是唯一的，因此0的逆元就是0，規定自然數 的逆元（相反數）為 ，即 ,我們把全體自然數及其逆元放在一起成為集合 ,稱為整數集， 中的元素稱為負整數。
對於非零自然數 規定：若 ,則 ，根據公理4, 是唯一的 。
規定 的後繼數是 ,仿照自然數的加法，可以歸納地定義整數與自然數的加法 ，整數與負數的加法可以定義為 .
性質4（加法結合律）
證明：不妨假設 ，仿照自然數的情形，用歸納法證明。
類似地，我們也可以證明交換律。
性質5（加法交換律）：.
此時，整數集在加法下形成了Abel群（滿足加法交換律）。
四、乘法與有理數
定義（整數的乘法）
設 ,定義： ,若已經定義 ,則定義 , 此時我們定義了整數與自然數的乘法，規定 .
運用歸納法，我們可以證明乘法對加法的分配律、乘法結合律、乘法交換律.
此時我們發現有理數的加法、乘法也是滿足分配律、結合律、交換律的。（關於有理數的構造我們就不多說了）
五、實數和複數
任何乙個實數都是乙個有理數列的極限，根據極限的性質，有理數加法、乘法的性質都可以推廣到實數上去。再根據複數加法和乘法的定義可知，複數加法、乘法同樣滿足。
如何證明加法交換律？
喚醒感覺和意識 兩個數相加就意味著把這兩個數放到一起，那麼不管先放哪乙個，後放哪乙個，結果都是一樣的，都是這兩個數在一起.也就是說當兩個數相加時，這兩個數可以交換順序. 非構造性雨軒菌 module AdditionCommutes data PeanoNat Z SPeanoNat total p...
對於兩個共線向量，怎麼證明滿足加法交換律？
都督水水炮 共線情況實際上更簡單一些。適用平行四邊形定則的向量是有向線段的定義，共線時方向可以使用正負號替代，線段長度計算滿足實數加減法，因此從向量加法退化為實數加法，交換律自然適用。 困泡 認真答題 要求滿足分配律,同時用到實數的交換律 a b a a 分配律 1 a 1 a b a 但這題沒有啥...
加法的交換律和結合律有什麼用呢？為什麼會有這些性質？
Rara 我想加法的交換率結合率就是要告訴你東西不會因為你數數的先後順序在數量上變多變少。你最開始有5顆奶糖，後來小明給了你6顆，然後小紅特別喜歡你就給了你7顆，最後你要數自己一共有多少顆糖呢。不管你是先數哪一堆，然後數另外哪一堆，最後再數剩下那一堆，糖的數量永遠是18顆，不會改變。從另一角度也算是...