1樓：光子輔導
一。觀察法
通過對函式定義域、性質的觀察，結合函式的解析式，求得函式的值域。
例1求函式y=3+√(2-3x) 的值域。
點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x) 的值域。
解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，
故3+√(2-3x)≥3.
∴函式的知域為。
點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數的非負性，(2)值的非負性。
本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函式的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。
練習：求函式y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：)
四。判別式法
若可化為關於某變數的二次方程的分式函式或無理函式，可用判別式法求函式的值域。
例4求函式y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
點撥：將原函式轉化為自變數的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函式的值域。
解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)
當y≠2時，由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2
當y=2時，方程(*)無解。∴函式的值域為2
點評：把函式關係化為二次方程F(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函式的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函式。
練習：求函式y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y>0)。
五。值法
對於閉區間[a,b]上的連續函式y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的較值，並與邊界值f(a).f(b)作比較，求出函式的值，可得到函式y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函式z=xy+3x的值域。
點撥：根據已知條件求出自變數x的取值範圍，將目標函式消元、配方，可求出函式的值域。
解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函式z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。
當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4.
∴函式z的值域為{z∣-5≤z≤15/4｝。
點評：本題是將函式的值域問題轉化為函式的值。對開區間，若存在值，也可通過求出值而獲得函式的值域。
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