方程的根為什麼是兩個數相加的形式？它的本質是什麼？

1樓：Mephisto

本質就是：你腦子想得太多！根的形式是兩式相加，即。

但是，這只是視覺形式而已。如果再細分的話，這裡的和還可以是其它形式，例如。你的腦子告訴你，這是加法形式；我的腦子告訴我，這是加法與乘法形式。

況且，並非所有方程的根都是加法形式。例如一元一次方程的根就不是加法形式。

好吧，剛才開了個有失禮貌的小玩笑，下文開始好好談談一元三次方程的根。

從一元二次方程說起，用配方法求根：這個過程有三個疑問：

為什麼不用公式法而是囉嗦地配方？

為什麼不用符號而是用係數？

分母全都是為什麼不合併分式？

我現在逐一解釋：

配方過程強調消去次高項。

使用係數強調旋轉動作。

刻意寫成兩式相加的形式。

岔開一下話題，基於第3點，使人們注意到了形如的數。是有理常量，是無理常量，那麼數集是乙個數域，並且

為了更好地解釋第2點，我現在宣告一些新定義。

定義1：，實變冪函式構成從到的雙射，所以存在反函式，記此反函式為。注意：在這定義下，被定義在內且為單值函式。

定義2：若，則，其中。若，則

定義3：

注意：在這定義下，與不是同一概念。

因為任何非複數的輻角主值都是唯一的，所以是單值函式。

例如：在這3個定義下，容易推出都有同樣對於則有

話說到這，你總算明白係數是怎麼來的了吧！就是所謂的旋轉。

好的，作了那麼多鋪墊，總算可以進入正題了！

對於一元三次方程，像上例一樣消去次高項。換元得到

上例的根是兩式相加的形式。假設此例的根也是兩式相加的形式。

先假設，代入得到

再假設，那麼，即

代入消元，雖然可以求得兩個，其實另乙個就是，且和可交換，所以取哪個都一樣。不妨取，所以

因為，並且，所以這就是你所謂的兩式相加形式與旋轉形式。

但是，你真想太多了！

一元一次方程的根，不是兩式相加的形式；一元二次方程的根，兩式相加的形式是湊的，因為分子可以合併；一元三次方程的根，兩式相加的形式是人們主觀假設的，況且根是而不是，而且，也就是說，一元三次方程的根其實是三式相加的形式！

2樓：林光爵

有人說，整數是渾圓的饅頭，根號7就像裂開的饅頭被根號劈開了，它要找回遺失的另一根號7，把根號裂開的稜角黏合了，才能歸圓，回到渾圓的饅頭。

根號7加根號5，像是被剝開的饅頭碎片用加法暫時串著，它要找回失散的碎片結合了，才能回到渾圓的饅頭。結合時要小心讓稜角黏合稜角，只讓柔和的圓弧露在外面。根號前的係數就是讓你調整黏合的角度。

所以它找到了根號7減根號5，發現了

根號7加根號5 乘根號7減根號5 是整數。

所以根號的本質就是殘圓，根號加根號就是串起殘圓，根號乘根號就是煉丹歸圓。

或是再看看這裡有風吹來的回答：

3樓：

三次方程的三個根是存在對稱性的，這個對稱就是伽羅瓦群。至於這個伽羅瓦群為什麼可以用旋轉來實現，我想這可能需要研究下Q(alpha, w)的伽羅瓦群，其中alpha是三次方程的乙個根，w是三次單位根，不過我還沒啥頭緒。。。。