1樓：yang元祐
用初中生的方法證明
反證法有兩個正整數x和y，最大公約數為A，任意乙個非最大公約數b，而且b不是A的約數。
那麼，我們有
（1）（2）
（3）（4）,其中，m1、m2、n1、n2均為正整數。
由於A不是b的倍數，且x能被b整除，那麼m1必然是b的倍數，n1也必然是b的倍數。
，，其中k、l為正整數。
由（1）（3）得
消掉x得
同樣由於，k、l為正整數，所以得
A*b為x和y的公約數，顯然A*b>A。
所以，A不是最大公約數，與假定矛盾，證畢。
2樓：yoyo
某個數經分解質因數後，得到的因數，一定是那個數的約數。
並且還可能有其他的約數，必為這些質因數的相乘結果組合而成！
舉三個數的例子
如12=2×2×3 約數2,3,4,6,1240=2×2×2×5 約數2,4,5,8,10,20,4024=2×2×2×3 約數 2,3,4,6,12,24公約數就是其相同質因數約數的乘積組合。
2,2的乘積組合
公約數為 2,4
其中最大的那個數就是最大公約數 4
由於是乘積組合最大的數，當然其他的為他的約數。
所以得到結論，兩個數的公約數都是他們最大公約數的約數。
這裡其實可以找到求最大公約數的方法，就是尋找每個數的質因數，然後找到相同的作為因子，相乘組合即可。
3樓：
假設a和b的最大公約數d的表示式為
d = 1 * p0^a0 * p1^a1 * ... *pn^anai ∈
a和b的任意乙個公約數d'的表示式為
d' = 1 * p0^a0' * p1^a1' * ... *pn^an'
(以上所有的pi為素數)
顯然，對於任何乙個ai和ai'，都必須有ai >= ai'(ai' >= '0)，否則與d或者d'的定義相悖。
於是d / d' = p0^(a0-a0') * p1^(a1-a1') * ...
顯然等式右邊是乙個大於等於1的整數。
故得證::>_
終於能正經回答個問題了。。
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