1樓：王者
了解一下q-級數
注意不是p-級數哦!
q級數展開式及其應用
存在易證(單調有界)值難求呀
補充一下:
值得一提的是當年Euler爺爺在求zeta(2)的時候也是創造性的利用零點構造無窮級數求出了平方倒數之和。
2樓：
組合相關解法考慮generating function method以及與之相關的整數partition問題。
拉馬努金也對此類函式有過研究，給出了更一般的情況的上界。
3樓：執悲今厄
先問能不能解，再問怎麼解。
那麼能不能解？
答案是不能。
形如此類的問題，目前不能求通解，最多是利用構造取巧的方式求出這道題的特解。
*形如此類的問題是指求出待定引數函式的|x|＜a，limn→+∞，Π(b+x∧f(n）)的解。
4樓：走地雞
這個問題和分拆(partition)問題高度相關。
我們考慮把正整數 分成若干個不同的奇數的和的問題，設這種分拆的個數是 ,且補充 則 的母函式是 也就是說，
那麼，如何計算 呢？其實，最經典的分拆問題是無限制分拆問題：把 分拆成若干個正整數的和，不計順序，有多少種分法？設這種分拆的個數是 則有
我們有如下所謂五邊形數定理：
代入即得 的乙個遞推公式，因此可以快速求出
由於也是容易計算的。
要具體知道這個無窮乘積表示的是什麼樣的函式，我們需要有一些模形式相關的知識。具體來說，若 則
稱為Dedekind 函式，它是乙個半整權模形式，它的24次方是乙個權為12的模形式，稱為 函式:
其中 稱為Ramanujian 函式。函式 是（除去乙個常數係數後）唯一乙個權為12的尖形式（cusp form），也是權最小的尖形式，它可以用Eisenstein級數表示為
其中用以上 函式或 函式不難表示出題目中的極限。
5樓：金菠蘿
從形式上看，這是把乙個整數n拆成不同的奇數部分拆法的生成函式，和整數拆分有關的生成函式幾乎都沒有closed form。
6樓：傾斜的天空
主要是想吐槽一下樓下的幾個人…
有人說要跑mathematica，能不能自己先跑一遍看看行不行…有人說x大於1的時候不收斂也就算了，可以理解為專業水平不夠…用x幾何級數很容易控制住，所以肯定是收斂的…
到看見有人說x等於0 大於0 小於0的時候的值都不一樣，這是個錯題的時候，我不禁陷入了對中國本科數學教育的沉思…
7樓：
發現大學白上了……
大學方法根本啃不動這個題……
我還是用高中方法解好了
首先，記
容易看出，當2n+1>i充分大的時候， 是乙個常數，記為
對高中生可以直接用母函式/形式冪級數之類的工具輕鬆地寫一句顯然
畢竟顯然f_n如果收斂，它的各個Taylor級數應該收斂，於是如果f_n收斂，那麼它的各個級數一定收斂於f.i對應的級數
當然在這裡，大學生們可以用一下控制收斂定理，如果已知某個各項Taylor級數與f.i一致的函式g在(-1,1)範圍內收斂，那麼fn收斂且收斂於g
可以算出f.i的前n項：
CoefficientList[ Series[Product[i, ]}], ], x]
下面……請出髒方法
FindSequenceFunction[CoefficientList[ Series[Product[i, ]}], ], x],n]
FindGeneratingFunction[CoefficientList[ Series[Product[i, ]}], ], x]]
FindLinearRecurrence[CoefficientList[ Series[Product[i, ]}], ], x]]
Mathematica返回了三個算你ma
於是答案很顯然了
算你ma
既然算不出來……那就搜吧
A081362 - OEIS
於是我們知道了，f_n當n趨向無窮時收斂於QPochhammer[ -x, x^2], 畫出來的影象……
抱歉這個夥計算得太慢，我沒算出來
我們還知道f_n收斂於(-q)^(1/24) DedekindEta[Log[-q]/(2 Pi I)]/ DedekindEta[2 Log[-q]/(2 Pi I)]
畫出來的影象長這個樣子：
如某幾位睿智的知友所見，x＜0,x=0,x＞0（被座標軸）分成了三個不同的部分……而且結果各不相同（對這個單調的函式的確如此）……甚至有可能不收斂（至少我們看不見x=0.99999之後的影象……Mathematica直接計算也是返回Indeterminate）
至於DedekindEta是個什麼鬼……
……請自行找Dead了一百多年的Dedekind詢問去吧……
真的沒想到……看Dalao們的回答看多了之後……自己也可以偽裝成乙隻dalao了
這道極限怎麼算？
紫信 換元沒錯 第2個等式到第3個等式錯了 前面一部分的極限為e，但是你在求極限的過程中不能直接代入 有的時候可以直接代入，但是需要證明 但是有些情況是不能直接代入的 比如tanx sinx這種，照你這麼直接代入極限值就變成了0 0等於0，而實際上它是有等價無窮小的還有就是t趨近0 不是0 下面給出...
這道題該怎麼解
利用放縮定出 無窮大的階。具體而言 frac23 frac i 1 sqrt frac23 i sqrt i i 1 sqrt eeimg 1 第乙個不等號可以通過 frac a b eeimg 1 得到 所以 frac32n eeimg 1 當 時，對充分大的 有 c n 1 eeimg 1 所以...
怎麼解這道有趣的題目？
忘憂北萱草 首先設一瓶水在理論上的價值為 設乙份水的價值為1 乙份水，價值1。1個瓶蓋，相當於瓶水，價值 1個空瓶，相當於 瓶水，價值 總價值為 所以得到方程 解得 2元錢能買一瓶價值4的水，可得出1元錢價值2。所以，10元錢價值20，即能喝20瓶水。這種演算法是指在允許借瓶蓋和空瓶的情況下的，這樣...