1樓：MAN
1、整數的數量是無限的。這是實無窮的「無窮可達」思想，若根據潛無窮，應表達為整數的數量趨於無窮。
2、整數的位數不是無限的。這是潛無窮的「無窮不可達」思想，表達為整數的位數趨於無窮。
本質上，這兩個描述體現的是不同的無窮觀。這兩種無窮觀在具體觀點上是根本對立的，故對待同乙個問題採用不同的無窮觀，矛盾是必然的。
事實是，在數學領域，很多概念體現不同的無窮觀，例如：康托爾的(無窮)集合論以實無窮為基礎、極限理論以潛無窮為基礎、無限小數的定義以實無窮為基礎…。若基礎無窮觀改變，這些概念都需要重新定義，或者說在相反的無窮觀下，這些概念的含義就不是當前的定義了。
3、潛無窮觀的解釋
整數的數量趨於無窮
整數的位數趨於無窮潛無窮下，兩者並不構成矛盾。
4、實無窮觀的解釋
整數的數量：等於無窮，毫無爭議
整數的位數：是否無窮呢？無論整數或小數，其「位數」都是與自然數一一對應的。
⑴先看「無限小數」的位數。根據潛無窮觀的「無窮不可達」，任何小數的位數都是有限的，「無限小數」的概念的本質是位數趨於無窮大而不可達到無窮大。但根據實無窮的「無窮可達」，無限小數的概念是位數等於無窮大。
「無限小數字數為無窮大(無限小數的乙個定義)」的唯一依據是：無窮大可達。
⑵根據「無窮大可達」的實無窮思想，整數的位數與小數的位數同樣對應於自然數，若小數的位數可以「達到無窮大」、則在邏輯上，整數的位數並沒有理由「不可達無窮大」。整數字數不能無窮大是一種規定。
⑶規定整數的位數不能達到無窮大的乙個理由似乎是：若整數的位數達到無窮大，則這個整數的大小必然是無窮大，根據後繼數、及無窮大的定義(無窮大比所有的自然數都大)，則這個整數就大於其後繼數。這是矛盾。
所以不能承認整數的位數無窮大。
⑷規定整數字數不能無窮大，就能徹底避免矛盾了嗎？從很多方面可以質疑。例如
①個數的概念就是「數自然數」，或者說「與自然數對應」，對於自然數集來說，就不存在與本身對應的問題，「數數」就是對元素排序得到的序數，數到多少就有多少元素。所以集合中元素的數量等於這個序數。對於從小到大排列的自然數，序數又等於自然數的數值的大小，從而數量等於大小。
實無窮下，若數量達到無窮大，對應的自然數規定不是無窮大，豈不矛盾？用「這就是無窮大的特性」這種缺乏邏輯的話是解釋不了矛盾的。因為，任何概念，不允許違反邏輯。
在實無窮下，符合邏輯的定義是：整數可以無限大(如同承認無限小數一樣承認無限整數)。
②假設整數字數必須有限，則「限度」必不是無窮大，不妨設「限度」為n∈N，根據整數乘10進製法則，必存在整數的位數為n+1∈N，…這意味著，「限度」不存在。限度不存在不就是無限嗎？當然若用潛無窮解釋，位數的限度不斷+1的含義是，位數可以不斷增加，趨於無窮大。
實無窮總結：實無窮的本質是「無窮可達，若在某些地方否認無窮可達就是實無窮的自我否定。不論以何種理由否認「無限整數」，事實就是否認「無窮可達」。
站在潛無窮的角度，這是天經地義的否認；但站在實無窮的角度，否認就是自我否定。
5、總結
對待無窮大的問題，有必要首先搞清楚無窮觀，判斷是立場的問題還是邏輯的問題。
本題的本質是立場問題導致的必然矛盾，需要用某種固定的無窮觀的理論去解釋。
個人看法是：實無窮在某些地方不能自洽，而潛無窮可以更合理地解釋無窮大。
6、實無窮的無窮集合「等勢」理論⑴康托爾的等勢理論目的就是為了比較無窮大的大小。在實際操作上，等勢理論也是被廣泛用來比較大小，例如上面的例子，以及測度論的部分內容也是以此為基礎。但是學習集合論的很多人認為「勢」與「大小」無關，那是因為受到了潛無窮的影響(雖然不一定自知)。
如果康托爾的無窮集合的「勢」與元素數量(無窮大)無關，歷史上就不會存在所謂「反直覺」的、與「整體大於部分」的矛盾。如果不用來比較無窮大的大小，康托爾發明勢的概念用來作甚呢？
⑵兩個無窮集合元素可以建立「雙射」就說明一一對應，就是「等勢」。根據前述，等勢與否表示數量是否相等；而根據「某射」的定義，某射的目的就是為了比較數量多少。「雙射」、「單射且非滿射」、「滿射且非單射」這3種「射」分別對應數量相等與數量不等。
既然等勢代表數量相等，那麼可以定義「只要存在雙射，就是「等勢」(數量相等)」、為何不可以定義「只要存在後兩種射就是「不等勢」(數量不等)」？無窮集合3種射都可以建立，則數量既相等又不等，豈不矛盾？這是因為不同的對映改變的是對應的次序，並不能改變量量。
2樓：hhh
自然數是從0開始數，1，2，3，乙個接乙個。對應有相反數，如-1，-2，-3……，並起來就是整數。
因為任何乙個整數都有他的後繼，故整數無限。因為整數有限的話，那麼就有最大的整數，很顯然不對。但整數字是有限的，因為每乙個整數都是有限的。故整數是有限位。
無限位的數不是整數，因為他不符合整數的定義。無限位的數是無理整數。和整數是不同乙個概念。
位數當然可以接近無窮多，只能是接近而不能為無限位，比如1111111……，這個數1有多少個都行，但是不能為無限位，這就是趨於無限但是不能無限，整數越大，對應的位數也會大，而lg函式發散，所以位數可以任意多。
參考有限小數和實數的區別。區別是有限小數的勢是序數乘方10^ω，自然數你當然可以變成序數乘方10^ω，而實數的勢是基數乘方10^ω。都是10^ω，但有區別，序數乘方的10^ω=sup，或者是所有可能的(每個a有10種可能，但是裡面的項都只能是有限的)，沒錯，因為有限可以任意大，故an中的n可以越來越大，趨於無限。
但是因為每項都是有限的，所以清點完只需要ω。同時因為裡面的項都是有限的，所以找不到不在這裡面的項。而基數乘方的10^ω是(每個a都有10種可能，一共有無限項)。
所以可以對角線法發現有乙個不在列表中。
3樓：天雲海
0～1之間的數能用對角線法證明不可數是因為對角線法構造的數就是0～1之間的數。
對整數用對角線法構造的是乙個位數無限的數，不是整數集中的元素。整數集中的元素雖然是無限多的，但是在其中任取乙個數，這個數一定是乙個有限的。
但是如果說的是趨近於無限，那麼位數也是趨近於無限。無限大不是整數所以說趨於無限，無限位不是整數所以說趨於無限。趨於無限大的整數字數也趨近於無限。
4樓：Henry King
我覺得題主應該是被整數這倆字搞懵了。
無窮大指的是「整數這個集合」的cardinality是無窮大。
位數有限指的是「任意乙個整數」，他的位數是有限的。因為任意乙個整數，他的值都是有限大的。
整數這個集合沒有位數，任意整數也沒有cardinality。所以這裡的關鍵還是兩個「整數」指的是不一樣的東西。
5樓：
乙個集合Countable的定義是在集合和自然數存在乙個injective function 很明顯這個function是存在的所以是可數的
實數不可數的原因是實數軸是complete的取任何兩個不同實數都可以找到另乙個實數在這兩個實數中間而整數是不存在的 0和1之間沒有別的整數了
不知道對題主有沒有幫助
6樓：
「這裡如果把無窮做limit處理的話，當數字接近無窮大，那麼位數也是接近無窮多麼？」 –– 不是位數無窮多，只是極限是無窮大
「如果位數可以無窮多，那麼就可以用對角化來證明整數不可數，這顯然是不對的。」 –– 假設部分錯了，位數不是無窮多
7樓：王芊
反對 @蘇白雪，概念不清。
位數和整數表示方式以及進製有關，和整數的定義無關。所以整數的定義根本就不會提到進製位數，更遑論康托自己偷偷定義了。
整數的定義見皮亞諾公里，題主可以參看，你如果想把這種數納入整數體系，你得先考慮它的後繼數是否確定唯一。
8樓：hhhhhhhhh
無限的定義是大於任何數。
所以整數的基數，很明顯是大於任何數的（對於任何數數 a，取整數的子集 ，則全集的基數大於 a）。
然而整數很明顯不是無窮大的。。。
假設存在無窮大的整數，取其為 a，明顯 a+1 大於 a， booya。。。
以上能取 a+1 的原因是因為整數定義（皮亞諾公理）中說了，每個數存在其後繼數。。。易證 a 的後繼數等於 a+1。
至於上面那個基數為何不能加一呢？因為沒人規定任何集合的基數一定是整數，所以這個證法行不通。
我覺得這個完全和按定義沒關係，以上分明證明了，用皮亞諾公理證得，和康托那瘋子也沒關係。。。
其實如果整數允許無限位的話，很明顯我們的整數集的基數會直接擴大到實數集的基數，這一下啥 countable 和不 countable 的問題要掛一半。。。我們能夠理解的集合基本上就沒啥不 countable 的了（除了掛比 power set）
所以，題主你的想法很危險啊 #滑稽
9樓：張天嘯
這個問題的關鍵在於0.1和0.10000……是乙個數，但是1和10……不是乙個數，所以通過證明實數不可數的方法模擬到整數時，沒辦法找出乙個數與排列出來的整數都不想等。
所以整數的位數可以是無限多的。但任意給定乙個整數的位數都是有限的，這種無限是運動的。
10樓：Zicheng
按整數的一般數系上的定義的話，當整數趨近於無窮的時候，整數的10進製表示式的位數也趨近於無窮，這應該是可以證明出來的。
但是如果你說的「整數」的數系，不符合皮亞諾公理的數系，那麼答案也許會不同。
皮亞諾公理
分割線關於那個pi反過來為什麼不行的證明（想了很久的說...）
證明：因為自然數集 N 是可數集
我們可以將N 用自然順序排列如下（就是你所說的把pi反過來...）
n1 = 1*10^0 + 0*10^1 + 0*10^2...
n2 = 2*10^0 + 0*10^1 + 0*10^2...
...n123 = 3*10^0 + 2*10^1 + 1*10^2...
...這個列表將窮盡所有自然數，因為N是可數集
現在，取n0 使得它的第k 位不同於nk 的第k位（對角線法）
從表上任取乙個數 ni ，它的第i位必然為0，而且i位後都是0（好吧，除了第乙個數）
n0 在第i位上必然不是0，因此有n0 > ni
因為ni是任意選取，因此n0大於所有自然數
因此，n0不是乙個自然數
偶數集的元素數目等於整數集的元素數目嗎？我的分析有什麼錯誤嗎？
事實上，在數學分析中，任意無限可列集的勢都是相同的。所以，A x,y x,y Z 與B Z，這兩個集合的勢也是相同的。也即，設n為可列集的勢，則有n n。更進一步，可列個可列集之並仍是可列集。 龍陽桑 說複雜的定義有dalao講了。我不從定義分析。就單純直觀來講。題主你的問題出在忽略了無限集合和有限...
為什麼組合數都是整數？
張景斌 最簡單的證明方法，令函式 為從集合M中x個元素取y個的取法 定義域 obviously,該函式是值域在整數上的函式，根據定義與組合數學的基本原理，函式 請見這個問題 http www. c2tianhaha 居然看見了我會的，估計題主沒什麼數學基礎，我用最簡單的話說。證明組合數是整數，其實就...
既然整數集與偶數集等勢，那為什麼在整數集中隨機選取乙個數是偶數的概率是 1 2？
MAN 概率 用於描述隨機事件發生的可能性大小。但是類似的奇數偶數問題，並不存在 事件 描述成 選取 則變成了 事件 這樣就與 概率 的概念搭上了邊。即便如此，其本質乃是 部分的數量佔據整體的比例 的問題。所以對待這類問題，應當直接究其本質，而不必過多受到概率相關概念的限制。所以我覺得，此題把注意力...