1樓：
給乙個經典的不滿足歸納法的皮亞諾算術系統構造。令：
；， ；
對任意 ， ， ；
對任意 ， ， ；
對任意 ， ；
對任意非零 ， ， ；
， ，除此以外對任意 ， ， ；
對任意 ， 當且僅當 。
可以證實 滿足除歸納法以外的全部皮亞諾算術公理，且 ， 。因此集合 沒有最小元素，即良序定理不是 中的定理。
參見：https://
en.wikipedia.org/wiki/Robinson_arithmetic
2樓：endoresu
這取決於排序法。具體地說，對於集合A來說，它的排序關係R（R A × A）決定了A的某個非空子集是否最小元。對於我們熟知的常規「≤」關係，顯然A是沒有最小元的。
而良序定理聲稱存在乙個R使得A有最小元，顯然這個關係不是「≤」。
3樓：勃東海
貌似這個就是良序公理的另一種表達方式，所以你要看看書上除了這個還給了哪些公理。如果已經給了良序公理那這個就多餘了，反之只有這個也可以反推證明良序原理。
搬運個解釋：Is the Least Integer Principle an axiom?
I'm guessing you are a beginner and hence are expecting a rudimentary explanation. At this level I don't know if you've realised the need to define what natural numbers actually are. I mean it is easy enough to accept them as counting numbers initially.
But in formal set theory and laying the foundations for Analysis we do try to develop the natural numbers using (sometimes) a set of five basic axioms.
The thing is one of these axioms must be either the "Well-Ordering Principle" or the "Principle of Mathematical Induction" which we use to inductively construct the whole set NN. So at this level one of these two principles must be accepted as part of the definition of the set NN. If you accept Mathematical Induction you can prove the Well Ordering Principle as a theorem.
If you accept the Well-Ordering Principle you can use it to prove the Principle of Mathematical Induction. That is what people say when the two conditions are equivalent. Note that both conditions claim to be a "Principle" and not a theorem.
Google Translate + 渣翻：
很重要的的乙個點是，這些公理的其中之一，必須是「良序原理」或「數學歸納原理」，我們用它們來歸納構造整個自然數集。因此，在此級別上，必須接受這兩個原則之一作為自然數集的定義的一部分。如果您接受數學歸納法，則可以證明良序原理是乙個定理。
如果您接受良序原理，則可以使用它來證明數學歸納原理。這就是人們所說的這兩個條件是同等的。注意，兩個條件都聲稱是「原理」而不是定理。
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