1樓：
事實上，在數學分析中，任意無限可列集的勢都是相同的。所以，A＝｛（x,y）|x,y∈Z｝與B=Z，這兩個集合的勢也是相同的。也即，設n為可列集的勢，則有n=n。
更進一步，可列個可列集之並仍是可列集。
2樓：龍陽桑
說複雜的定義有dalao講了。
我不從定義分析。 就單純直觀來講。
題主你的問題出在忽略了無限集合和有限集合的區別。
無限集合的數是無限的如果你任意規定某個區間，哪怕這個區間非常非常大，但只要是個確定的區間，你都可以說整數比偶數多，可惜對於全體偶數和整數來說，這個上限是不存在的。 你給定任意整數，你都可以找到任意兩倍於這個數的整數，從而這些數中的偶數和整數相同。
舉個非常簡單的無限例子：
一條2公尺的直線，和一條1公尺的直線。
2公尺的直線比1公尺的長。
估計你一看這個命題就知道是錯的，因為直線是無限延長的。1公尺2公尺不過是以為的長度。
和這個問題一樣。你以為整數只有n大，實際上n以外有2n，3n。 所以從直觀上根本無法通過集合的元素有多少來確定無限集合大小的問題。
要比較就只能通過前人們給定的規則去確定。
根據等勢的定義，實際上任意兩個數的區間都和實數R等勢。 比如（0，1）這個區間居然和整體實數R是等勢的(> <）
3樓：
cantor的theory，奇數集和偶數集都能與正整數集構成一一對應的對映，所以兩個集合都是countable的，數目一樣。
物理學生，自學數分，如果不嚴謹請指教
4樓：
涉及到無限的數學問題要倍加小心。題主的問題在於把兩個無窮直接做數值的比較，這完全錯誤。無限集元素的多少是用「勢」這個數學概念來衡量的，利用Bernstein定理可以比較勢的大小(有興趣可以看看基數理論)。
數學注重精準，而不是直觀。人的感知精度是有限的，直覺經常是錯的。
——感知精度不夠的例子——
完備疏朗集cantor集與實數集等勢，但是卻是零測集。
5樓：
同意 @Wunn 的答案，實際上你的分割方法還是沒有搞清楚，也沒能解釋清楚無窮的定義。
首先你把整數按一對一對分，得到無窮多個。
可是我也可以把偶數按一對一對分啊，也能得到無窮多個。
你不能說這兩個無窮多前乙個就比較多。
這涉及到一些關於序數的問題。
總之，到了無窮大以後就不能按個數比了，得按「階」比。
6樓：dhchen
數學說白了就是要搞清楚定義，兩個的東西比較大小是通過構造「對映」來比較的，如果存在乙個一一的對映 ,（也就每乙個元素 只和 的乙個元素對應） ,那麼我們就定義說兩個集合的勢（數量）是一樣多的,寫作。可以證明，這個定義在有限集合和一般意義上集合大小是一致的, 也就是說這個定義是合理的「集合大小」的乙個推廣。也是數學界公認的方法，你首先得去了解這個方法，而不是自己把嚴格的「數學定義」和「直觀混為起來」你的錯誤在於認為 ,那麼 ，可惜這個結果是「不成立的」，為什麼？
反例不就是你自己舉的這個例子嗎？我們判斷成立與否，重點還是回到定義，而不是「直觀」，這是中學數學和高等數學的分野。整數和偶數是一樣多的，因為函式 是整數和偶數之間的一一對映，根據「定義」，它們是一樣多的。
下面的定理是主要的，通過「子集」來比較的定理，其證明最後還得回到構造乙個一一對映上來。
換句話說，以後有人問你兩個集合的「數目」是不是一樣大的時候，你應該想到的是兩者能不能找到乙個一一對映。不是直接構造，就是間接使用以上的Cantor-Bernstein定理。建議你去看一看周民強的」實變函式「中的「對映和基」這一小節，裡面有詳細的內容。
事實上，要證明兩個無限集合不是「一樣大」比證明「它們一樣大」要難得多，後者只要找到乙個「一一對映」即可，前者必須證明這個一一對映是不存在的。一般的方法是設法先證明它們的勢是可數或者不可數這樣的「完全不同」的類別。
7樓：吟遊阿克曼
考慮加法群的概念的話Z同構於2Z，同構意味著存在雙射，但是cardZ=inf，card2Z=inf，無限大之間不能直接比較
8樓：
康托爾-伯恩斯坦定理
A與B的乙個真子集對等
B與A的乙個真子集對等
則A B 對等
現在題主已經說明了偶數與整數的乙個真子集對等，並不代表偶數少於整數，因為存在偶數集的乙個真子集和整數集對等(只需要取偶數集的乙個子列編號0 1 –1 2 –2.......即可)
如何證明整數集和有理數集是等勢的？無理數集和實數集呢？
salvare000 可數的無窮集和正整數集等勢。要證明等勢只要能夠在兩個集合建立雙射就行，或者說證明 A B 即證 A B 且 B A 又或者說，可列就是可數的。無理數和實數都不可列 無法與正整數建立雙射 而整數顯然與正整數可以建立雙射，按如下排練 整數的 0 1 1 2 2 3 3 對應於正整數...
自然數集N與整數集Z，集合等勢與真子集的問題
MAN 一一對應 的本質就是 數量相等 當然對於無窮大，有人已經認識到無窮大不能比較大小 最直觀的例子就是題主提出的 整體與部分 的矛盾 認識到這點不難，難的是能否保持一貫。例如常見的論調 無理數比有理數多得多 以及以此為基礎的 數軸上砍中有理數的概率是0 等等 實際上，無窮集合的 等勢 與 數量相...
最大的可定義數集（每個元素是可定義數）有哪些？
陳斌 很容易發現，比如有了開方運算，產生了一些 開方數 這些數在開方運算下是封閉的。不過諸如e，pi似乎不在開方運算下的產生。另一方面比如階乘運算，猜測也會產生新的數不如前面的開方數相容，姑且稱為階乘數，如0.2！這些數可能也會在階乘下封閉。每當 創造 或者發現 乙個運算後，可能會產生新的數，這如果...