格林函式如何在凝聚態物理的量子場論中起作用？

1樓：苗艦艦

從實驗的角度來說

理論上來說，我們求解體系的哈密頓量，我們就徹底解決了體系的動力學問題

在量子力學裡面，哈密頓量就是乙個矩陣，所謂的求解其實就是矩陣的對角化，也就是找一組本徵基矢

而格林函式其實就是哈密頓量這個矩陣的逆矩陣，所以通過求逆，我們也解決了哈密頓量對應的物理問題。

一般在動量能譜表象下，格林函式可寫為

G(w,k)=1/(w-E(k))

哈密頓量表示體系的能量E，E(k)是體系的色散關係，通過求解格林函式的奇點，我們可以得到體系的能譜，也就是哈密頓量對角化後的本徵能量

上述的格林函式是基於無相互作用的體系，也即單粒子影象。

相互作用會修改單粒子影象，使得原本的單粒子態不再是本徵態，對於這樣乙個多體問題，我們需要統計力學的知識。

在統計力學裡面，最根本的量是配分函式，其實配分函式就是哈密頓量的拉普拉斯變換，變換的權重就是(巨)正則系統的玻爾茲曼分布。

所以對於相互作用的多體問題，我們的目標由對角化哈密頓量變成計算配分函式。

如果相互作用比較弱，我們可以用微擾論求解，也就是對相互作用項進行微擾展開，一階一階求解。

在路徑積分表象下，這種展開稱之為漸進展開，隨之而來的就是費曼圖。

漸進展開的基礎就是前述的單粒子格林函式，在費曼圖裡面用一條線表示。

由於相互作用，不同線之間會交叉，稱之為頂點。

所以從圖論的角度來看，費公尺圖就是由不同的線和點構成的圖，而這些圖和配分函式的漸進展開項有一一對應的關係。

我們這樣又把乙個計算配分函式的積分問題轉化成畫圈圈的圖論問題。

如果我們只考慮單粒子格林函式，我們考察乙個粒子在體系裡的過程（由於粒子具有全同性，考慮乙個粒子等價於考慮所有粒子）。

當粒子不發生散射（相互作用），這個粒子以一條線（傳播子）的狀態存在，當粒子發生散射時，這個粒子與其他粒子交匯，產生乙個頂點。我們只有把所有可能點與線的組合方式全部排列出來，就得到了嚴格的格林函式，這樣問題就變成了乙個組合圖論的問題。

但是一般嚴格求解是不可能的任務，一般圖的數目隨著階數越高呈指數增長，所以一般教材裡只算到兩階。

但是硬算不是聰明人之舉，或者說聰明人能算到無窮階，這個聰明人就是Dyson。

根據費曼圖的一般知識，Dyson提出來Dyson方程，使得我們可以計算無窮階圖。但是Dyson方程是個自洽積分方程，我們仍就無法嚴格求解（不可解的問題怎麼變換都是不可解），不過利用我們之前得到的兩階微擾論的結論，我們可以把部分圖進行無窮階求和，在微擾論適用的情況下，QED成了迄今為止最精確的理論。

我們也可以計算雙粒子格林函式，對應的方程叫做Bethe-Slater方程。

這時候再回到方才我們要計算的配分函式，有了格林函式，我們以此為積木，一階一階地搭上去，最終可以得到配分函式的漸進展開表示式，至於計算的精度依賴於相互作用的強度和展開的階數。

一般來說

如果你考慮狹義相對論，那麼上述框架下你得到高能裡面的量子場論

如果你考慮非相對論情況，那麼上述框架下你得到凝聚態裡面的統計場論

不過我覺得凝聚態場論與高能場論最根本的區別不是相對論，因為在1+1D的共形場論裡面，我們在凝聚態裡面也可以得到1+1D的相對論協變性，只是光速變成了費公尺速度

我覺得凝聚態與高能不同的在於，高能一般考慮空間連續場論，而凝聚態考慮空間有週期性的離散場論

其實高能的場論相當於乙個晶格常數無窮小的場論，相當於晶格常數a趨向於0的極限，對應著動量空間k的上限由pi/a變為無窮大，對應的能量一般也趨向於很大（高能），所以高能飽受各種無窮大發散的困擾

不過高能裡有格點規範場論，為了解決強相互作用

而凝聚態場論天生就是乙個格點場論

不過在臨界點，由於體系的關聯長度無窮大，相應的晶格結構作為細節被磨平，這時候我們發現描述臨界點附近的場論和高能裡的連續場論有著幾乎相同的形式。

唯一的區別就是Wick轉動。在高能裡，由於相對論，時間和空間等價，都是場的引數。在凝聚態裡，溫度扮演了時間的角色，用松原格林函式，逆溫就是虛時。

如果說哈密頓量包含著體系所有的動力學性質（在路徑積分表象下，還有Berry phase包含著體系的幾何/拓撲性質），那麼格林函式，配分函式都只是哈密頓量對角化後的能譜資訊的另一種表達方式

格林函式儲存著能譜逆的資訊

配分函式儲存著能譜拉普拉斯變換的資訊

PS：過年宅在家，手邊沒有書可以參考，上述回答僅憑記憶，如有紕漏與謬誤，還請指正。