怎麼巧妙證明橢圓過焦點弦通徑最短？

1樓：

以焦點弦為直徑作圓，圓心永遠在通徑所在直線的一側(包括通徑)再結合橢圓第二定義，圓心到準線的距離與焦點弦長成正比。

說明，當圓心在通徑所在直線上時焦點弦最短，即通徑。

其他圓錐曲線都同理。

秒了，逃~

2樓：

嘗試不計算說明：設橢圓長軸與x軸平行，則通過縮放x軸成圓形，此時原焦點成為圓內一點，又知過圓內一點最短的弦垂直於過該點的直徑，也就是與y軸平行的弦最短，而此弦在射影過程中並未變短，而其他所有弦在縮放中都變短了，所以在縮放前此弦也是最短的。

補充下符號過程，設橢圓方程為

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做座標變換：

則原橢圓變換成圓：

角度為θ長度為L的弦，長度變換為：

不同於在橢圓中，在圓中過定點最短的弦容易找到，就是垂直於過該定點的直徑的弦，也就是說

也就是說過長軸上一定點的弦中，最短的弦一定是與短軸平行的。

另外，這個問題也可以從力學角度思考，容易知道最短（或者最長）弦的兩個端點處的橢圓切線與弦的夾角是相等的（或者說內錯角互補），根據對稱性可以判斷出此時（過軸上一點的）弦與橢圓某一軸線平行。這個思路更加直觀，而結論也更強。

3樓：ramessesii

設橢圓的焦點弦為，可知： .故 .

當且僅當時，取到最小值。

更新：以為極點建立極座標系，設橢圓的焦點弦為，傾斜角為.

設，則.

故.當且僅當，即為通徑時取到最小值。