1樓：
能不能證明取決於你把什麼樣的東西叫做 Benford 定律. 乙個自然語言的論斷一般是談不上證明不證明的, 說清楚條件, formulate 成數學問題之後才能談論能否證明.
下面給出乙個通過 Birkhoff 遍歷定理證明的 Benford 定律. 先給出兩個概念.
考慮概率空間 . 乙個可測對映 稱為保測的 (measure preserving) if for all .
對集合 , 若 (其中 表示集合的對稱差), 則稱 是不變的 (invariant). 所有不變的集合構成了乙個 -域, 記為 .
通過 rotation of the circle 這個例子來引入.
直接應用遍歷定理.
補充一下 trivial 的證明.
下面說明取 時, 幾乎處處收斂的例外集是空集, 從而此時的遍歷定理是處處收斂的.
最後, Benford's law.
Ref: Durrett 的 Probability: Theory and Examples 第 4 版 7.1-7.2
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