能否構造一種函式表示式，通過改變其中引數，可以表示任何一種函式？

1樓：雷神蘸醬

前面的回答都太數學化了，其實我覺得這個問題極其簡單：如果學習過計算機理論就很好理解：

你眼前的電腦就是那個你要的程式，而你對他進行一些輸入（程式設計），他就可以實現任意函式的功能。

只不過，這個原函式（計算機）是乙個複雜的函式系統。不像一次函式那樣簡單、直觀。你需要改變的引數也很多（每乙個輸入字元和具體操作）

如果要求不高的話，mathematica，甚至是幾何畫板這兩個軟體，也勉強能成為你所需要的那個原函式。

本人計算機專業，不懂高階的數學知識。前面的方法是種比喻，有點投機，當然可能不如數學大師的法眼。

但是，計算機設計的初衷就是如此：用很笨拙、很原始的方式（比如暴力代值法、迭代計算），去解決一些很嚇人、很高階的複雜問題。

畢竟，計算機本質上只能處理二進位制的加法和移位操作。然而，通過巧妙的程式，讓二進位制的加法和移位操作每秒進行很多次，最終就成就了如今的資訊化時代。

綜上所述：計算機可以模擬成乙個題主想要的原函式，只要外設足夠多，硬體足夠強大，程式足夠巧妙，題主可以讓他成為任何乙個你想要的函式（目前能力範圍僅限於人類的技術工程，無法發明、研究、學習知識，否則就是skynet了）

2樓：DAVID

大家在回答的時候很多都從函式的條件上面去寫了。我理解題主的意思是，把很多很多不同結構的函式都羅列出來，比如已知的全部函式（肯定是有限個），做成乙個表示式，我覺得理論上是有可能的，但是實現起來幾乎是不可能的。就好比問，我們假如我們以一定速度，能否走到宇宙的邊緣一樣。

首先，我們不能保證所有的函式構造我們都發現完了，只要還有沒有發現的，題主的心願就實現不了。假如全部發現了，是有可能的，當然會出現定義域衝突的問題，只要你把有瑕疵的函式乾掉，就好啦。就好比y=ax+b/x一樣，當x=0時，我把b=0問題就解決了。

題主是要構造這個函式，而不是把全部函式簡單羅列出來。是有選擇性的。理論上有可能，實際上不行。

其實還可以這樣理解

對於n維度函式（比如n為2時為平面），只需要滿足，如實數範圍內，當x在x軸上滑動時，y可以布滿整個平面，你就成功了。實際上如果存在這樣的函式，函式形式就已經圓滿了。

假如此時有一萬個函式構成，則任意第一萬零乙個函式都可以由這一萬個裡面的函式來表達。

3樓：

不行你這個表示式要實現的，等於是說輸入有限個(無限個你寫不出表示式啊)引數：，就輸出乙個確定唯一的函式。因為這個函式是「確定唯一的」，我們實際尋找的就是乙個從引數集合到一元函式集合的對映使得。

我們不必知道這個的具體形式，只需要知道和等勢，一元函式集合和的冪集等勢，其勢要比R和Rn大得多。這個對映就肯定不是滿射。不是滿射就意味著函式集合中肯定有些函式是表達不出來的。

Ps:勢（康托爾勢）可以理解為集合中元素的數量，有限集合直接數就行了，無限集合採用是否有一一對應的方法來判斷，冪集的勢永遠大於本身那個集合。某個集合的冪集就是這個集合的所有子集的集合。

4樓：Belleve

如果你指的連續函式的話，是可以做到的，因為連續函式的值可以由有理點上的值唯一確定，所以

具體的對映方法是：

設 x 是 (0, 1) 內的實數，那麼可以把它展開成二進位制小數形式，比如 0.1101100001...

把這些小數字沿著副對角線方向，斜著，填滿乙個無窮大的二維表：

1 0 0 11 1 01 00

那麼此時，我們相當於得到了乙個實數的無窮序列 g：它每一項是由這個無窮大的表的每一行構成的。容易看出：上面的編碼方法是個雙射。

那麼定義 Q 到 R 的函式，其中 j 是裡的乙個雙射。

根據連續函式的性質，任何連續函式的值都可以由其在有理點上的值唯一確定；然後上面的對應方法中每一步都是乙個雙射，所以我們建立了 (0, 1) 到所有 R 上連續函式的雙射。

但是對於任意函式，不能

假設可以這麼做，那麼你構造出了乙個實數 R 到所有實函式 F 的一一對應，不妨叫它 M 好了

那麼我們可以構造乙個實函式 g，定義為：g(t) = M(t)(t) + 1

那麼我們發現，g 和 M 值域內的所有函式 f 都不相等（因為都至少差了「一點兒」）

但是我們之前宣稱 M 值域覆蓋了所有實函式，這就導致矛盾。

所以題主的要求無法做到。QED

5樓：金岳霖

不可能，實數上的函式集合與實數的冪集等勢。所以不可能存在從實數集到實函式集的滿射。

簡單來說就是實函式比實數多。

勢的概念參考任意一本集合論或者實分析教材。