1樓：
我覺得題主想問的是：給定乙個長度的線段，所有在有限步能尺規作圖的線段的長度對原長度之比的集合，是否是正實數？
我個人覺得代數數都不一定能做到。比如2的立方根。
2樓：
這種問題一句話就可以解決。允許無限步尺規作圖的話，任何實數都是某個有理數列的極限，進一步可以表示為某個有理數級數的和；而有理數長度的線段都可以作出來，把級數項對應的線段拼起來就是。
3樓：大貓
這個問題的本質是：尺規作圖的空間是2次多項式式的根集合a。三等分角是3次多項式的根集合b。
他們有非空交集，比如說三等分90度角。然而a無法拓展到b。所以不要白費勁了。
4樓：
作為提問者，我再說一下，這個問題本質上是作出有向線段定比分點的分點問題(正負問題考慮線段的方向即可)，當給定的定比 為有理數和上文所說的無理數時(這裡實數 用線段長度表示)，那麼給定線段關於定比 的分點是可以尺規作圖作出的；當 為超越數，有限步尺規不可作，那有沒有別的辦法作出呢，這可是乙個大問題，提出定比分點這個定義，某些情形下卻不能把分點作出來。
5樓：mathe
如果允許無限步，那麼顯然對於長度為任何實數的線段顯然都是可以做出來的。
由於有理長度的線段我們可以有限步做出來，所以只需要使用一系列的有理數來逼近乙個無理數即可，這可以有很多中方法，比如連分數逼近，或者就取無限不迴圈小數表示的前n位。
而對於乙個實數長度的線段，能否通過尺規有限步做出來，其充分必要條件是這個實數可以通過最多有限次開根號表示出來。
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