1樓：陳澤暉
要證 ，即證 .
令 ，則
當 1" eeimg="1"/>時， ， 單調遞減. 故 ，即當 1" eeimg="1"/>時， .
所以 由 知
， ， ， .
故 令 ，
則 ，，，.
當 0" eeimg="1"/>時， 0" eeimg="1"/>，所以 單調遞增，故 g'''\left( 0\right) =0" eeimg="1"/>，因此 單調遞增，故 g''\left( 0\right) =0" eeimg="1"/>，因此 單調遞增，故 g'\left( 0\right) =0" eeimg="1"/>，所以 單調遞增， g\left( 0\right) =0" eeimg="1"/>. 即 0" eeimg="1"/>時，有
1+x+\fracx^2+\fracx^3+\fracx^4." eeimg="1"/>
所以 \frac" eeimg="1"/>，故 \left( \frac \right) ^4=\frac" eeimg="1"/>.
因為 0" eeimg="1"/>，
所以 \frac" eeimg="1"/>，
所以 \ln88" eeimg="1"/>，即原題所求證的式子 是成立的.
2樓：長在樹上的雲
這種問題沒什麼意思……你要說應用，現在計算機這麼發達沒人閒著沒事手推這種東西，你要說理論，我目前為止還沒見過哪個大學數學定理要通過比較兩個數的大小證出來的……
3樓：jyc
以下是:如果真是高中出現的數學題學生們的真實證明(那些妖怪姑且不論)(這句話一口氣說完真難)
首先題目是等價於ln｛[ln(88)]^(2/3)｝＜1
等價於[ln(88)]^(2/3)＜e
等價於ln(88)＜e^(3/2)
到了這裡，來了來了(要是考試我絕對會好好回想一下出題人是誰)。
(判卷老師警告)
88.384＞88 證明完成(達成成就:考場開掛)
好吧，還是腳踏實地一些吧
接著上面的[ln(88)]＜e (不要問我為什麼化成這樣，就是好算)
然後高中數學書上有e=2.71828···(這個真的一字不差連標點都一樣)
所以等式成立(不要問計算去哪了，亦或者你可以問計算機，我相信不管是高中還是大學出此題的本意絕對不是考驗計算和e的背誦，那樣根本毫無意義，可以說嚴重違背了數學本身的含義)
(汗，差點用上反函式解了，最近學高數真是智商急劇下降。嗯，不過按理來說比較這種近似值應該利用擴大差別的方法，不過這個超越數好煩人)
最後，魯迅層說過:唯有極限才能對抗極限。(莫名躺槍的魯迅)所以題主為何要非限制於高中數學
4樓：HOOCCOOH
（計算題很無聊啊，反正就是暴力計算，為什麼不用計算機呢？）
我們假定題主知道 ，並且熟悉豎式加減乘除開方[1]。
首先題目等價於 88" eeimg="1"/>，先暴力算裡層，這裡得精確些，畢竟在指數上，
2.718 \times 1.6486 > 4.4808 " eeimg="1"/>
容易發現[2]
4.48046875 = 4 + \frac 1 2 - \frac 1 - \frac 1 " eeimg="1"/>，注意後兩項為負號，下面需要求上界。
然後先算 2.718^2 > 7.387 \\ e^4 > 7.
387^2 > 54.567 \\ e^ > \sqrt > 1.648 \\ e^ < \sqrt < 1.
649 \\ e^} < \sqrt < 1.285 \\ e^} < \sqrt < 1.134 \\ e^} < \sqrt < 1.
065 \\ e^} < \sqrt < 1.032 \\ e^} < \sqrt < 1.016 \\ e^} < \sqrt < 1.
008 \\ e^} < \sqrt < 1.004 \\" eeimg="1"/>
最後代入即可
e^ \\ &> \frac } } e^}} \\ &> \frac \\ &> \frac \\ &> 88.156 \\ &> 88 \\ \end" eeimg="1"/>
QED.
5樓：
結論：除了大量計算，任何方法都證明不了。
因為太接近了，繞不開暴力計算。
要證明ln88 一，放縮法：需要找到ln88《某個東西 二，積分或導數法：轉化為求面積或斜率問題。 e^1.5-1=e^x從0到1.5上積分，同格式的話 ln88-1=ln88-lne=1/x從e到88上積分，比較這兩個積分大小就能比較e^1.5和ln88的大小，但兩個積分面積也難比較。 發現搞不定，然後我拿起了計算器... lnln88=1.4990，太接近了。 lnln89=1.5015，ln88.5=1.5003。 6樓： （這裡需要你平時記住e大約是多少，一般要記住小數點後九位2.718281828） （這一步可以筆算得出，腦子好點的用時能少點）（這裡需要估算20.079的算術平方根，如果你不會，我建議你湊湊試試） （這裡需要平時的積累， ，， ） 顯然可知 是成立的。 用高中課程內的知識基本上到這裡就可以了。p.s： 當 時，x大概可以是那些數 當 時，x大概可以是那些數 當 時，x大概可以是那些數 當 時，x大概可以是那些數 當 時，x大概可以是那些數 當 時，x大概可以是那些數 這個需要你平時做一下總結。可以去多翻翻對數表，至少可以增加熟悉度。 ln2，ln3，ln5...總得記住幾個。 p.s： 7樓：德拉A貢 8樓：bow-car 我記得必修三里有如何使用計算器吧 拿計算器簡單按一遍不就證明了 數字卡的這麼極限還非得強調用高中知識證明……我想正常的高中生以及高中老師都不會閒成這樣 9樓：靈劍 如果能證明 也就能證明最開始的結論了，也就是證明 右邊這個很想利用上面的結論替換成 ，尷尬的是會放縮過度……這時候我們就不得不增加放縮的精度了，比如說 \ln 20.08 - \ln 20 = \ln 1.004 " eeimg="1"/>，於是有 對數當中的東西還是想辦法往20上面湊，考慮到於是有接下來需要放縮一下 ：所以而 把所有的不等式連起來，終於得到了結論 前面的 的另一種處理方式是 \ln \frac = -\ln0.997 > 0.003" eeimg="1"/> 但 的處理仍然差不多，並沒有變簡單。這個問題的難點就是用20來近似就會放縮過度，必須用20.08才剛剛好，這就帶來了很多麻煩，好在這個數跟20仍然不太遠，是可以利用20的情況再做小的修正來得到的。 10樓： 這很簡單只要你掌握了對任意 求 的方法(精確到小數點後任意位數),那麼這種題想做多少個做多少個. 那麼,如何手動算這個對數值呢?? 以 為例 首先,由導數方法我們可以證明 ln\ x >\frac ,\forall x>1" eeimg="1"/> 熟悉的人能知道這就是著名的對數平均不等式,不熟悉的話可以自己手動證明一下 注意到,x距離1越近那麼這三個數的值就會越接近. 因此,由於 那麼,對 分別應用右式可以知道: \sum_^\frac)-1})+1}=\frac " eeimg="1"/> 而 可以看到,非常接近精確的數字了.如果說你需要更高的精度的話 就把2寫成 這類,你分子分母越大,那麼每一項都越接近1,逼近的效果就越好 因此,我們掌握了任意逼近 的方法 下面證明原題目: ln88=3ln2+ln11 因此,那麼, 綜上: 證畢 一些後話: 關於開頭的不等式,熟悉的人能知道它就是對數平均不等式.為什麼選擇它是因為選擇 的話加法計算量很大逼近速度比較慢,但是如果選擇更高次的話,求導證明的計算量又很大,所以出於兩方面考慮加上高中生做高考導數題總是出現對數平均不等式,因此選擇了這個式子以上 11樓： 不要就留一句高中數學知識，請說明哪些知識能用。 例如證明 e>2.732. 到底是查一下e的值就行還是得用極限證。 太尷尬了，把e記錯了。是2.718 12樓： 估值之前要知道一些基本的資料，不然後續沒辦法繼續。 比如已知 但是我並不準備用這個，我需要使用 以及 下面開始： 2\times1.0986-0.6932=1.5040" eeimg="1"/> 顯然 因此 令 因此 4.48" eeimg="1"/>e^=e^e^>4.48^3\times0.98>88" eeimg="1"/> 因此原題結論成立 為什麼想到4.48是受到 @cyb醬思路的啟發 13樓：木林 提供乙個思路。 準備知識： 首先高中課本上有 ，於是有 估值 為下面做準備。有 ， 2.71829>e" eeimg="1"/>，可得 定理1：對 有如下性質：在 影象上任取一點 作切線，切線的方程等價於一次函式 ，則有 恆成立，當且僅當 時等號成立。 （定理1取 時即是常見不等式 。定理1是大學的凹凸函式的性質） 對題目證明如下： 原式 又因為 2.71828" eeimg="1"/>，所以如果 成立，則原式成立。 由定理1及對e的估值，取 ，則有 成立。所以如果有 成立，則原式成立。 易得（？）不等式左邊 ，右邊 ，所以不等式成立，原式成立。 全部都是高中知識，沒有超綱。但是誰要能在考場上算出來，我敬他是條漢子！ （你問我為什麼取 ？因為我取了4或者5都做不出來，而 ，不得已只有取 。要是4或5能做出來的話也就不用估值 了） 14樓： 乙個普通高中生來戰 看到這題第一感覺 我又一次證明我上了乙個假高中 不過我還是嘗試一下。貽笑大方之類的DONTCARE了為了方便做選擇填空 我們高中告訴了 e約等於2.7 ln2約等於0.7 ln3約等於1 瞎**替換加放縮哈哈哈 emmmmmmmm 15樓：蘇承心 指數部分懶得找不等式了，前面答主用泰勒暴力計算挺好的hh，此時指數下界4.48 想了一下用乙個巧妙的方法可以減少計算量，泰勒只需要三階，手算完全沒問題，給出我的想法 對數部分我找了以前研究伽馬函式不等式時搞出的乙個副產品，把對數拆分後代入放縮得到上界就ok，此時對數上界約為4.478 為了防止讀者證明掉發我把過程發一下 翟現鵬 遺忘細節是正常的，基礎知識點主要在選擇題和填空題，難度係數不高。問題不在細節遺忘，而是綜合運用，高考題單考乙個細節知識點較少，多半是綜合應用，也就是題目轉化和知識解構，知道考察哪些知識點。高中系統複習就是乙個很複雜的問題，複雜到從90年代開始，每年高達上千億的教輔圖書市場都不一定說清楚。緊跟... 現役數學系狗建議不要，因為真的關聯不大，高中數學可以說有部分可以為高等數學提供基礎 雖然數學系不學高數哈哈哈哈老梗了 不過弄本同濟版高數來看看當做消遣還是不錯的，總之一條，我的觀點跟其他答主一樣，不要捨本逐末。就這樣，習慣性匿。 求求賜我個名字叭 孩子，不是我打擊你.我高中的時候也這麼想.現在想來，... funfun 首先sinx恆在負一到正一之間，所以該函式零點必然在負一到一之間。又因為該函式在負二分之pai到二分之pai上遞增，而負一到一在該區間。所以該函式只有0乙個零點 Kurry y x sinx,求導得y 1 cosx 因為1 cosx恆大於等於0，故y單調遞增。很顯然要麼有乙個零點，要麼...如何高效複習高中數學知識？
高中階段提前掌握高等數學知識對高中數學的學習有幫助嗎？
有沒有辦法能利用高中數學知識求出x sinx的零點。特值請繞道？