1樓：哈哈哈
知乎首答，鄙人數學系學生，學藝不精，見識淺薄，言辭不當之處還請包涵
先給結論：是精確值。前面的網友答得很棒了，我再補充一點我的看法吧。就以y=x^2在（0，1）上的積分為例：
前者是外部的最小覆蓋，面積為1/3+m，後者是內部的最大填充，面積為1/3-n，（m和n都是變化著的無限趨於零的量，表達不嚴謹，不過個人感覺挺好理解的，大佬勿噴）。曲邊三角形的面積被卡在這兩者之間，換句話說，它的面積除了1/3外不可能是別的數了，這還不是個精確值麼？
其實咱們可以做乙個思維實驗，假設在絕對均勻的鐵板上畫出乙個圓然後裁下來放到稱上稱一下，你說會不會得到乙個確切的數呢？（別說我空穴來風，當年伽利略老爺子還真這麼幹過。。。）
後記：關於那兩個誤差麼，貝克萊也問過一樣的問題，這就好比你問y=-1/x在x>0時能不能等於零一樣，我覺得這個問題沒有任何現實意義，我只需要知道零是它的天花板就行了，至於它能不能碰到那個天花板或者啥時候碰到都跟我沒關係，那解決不了實際問題。更理性的理解角度應該是A的天花板是B而不應該是A粗暴地變成了B。
（實在不理解為什麼到了大學裡還有老師動不動就搬出極限那一套唬人，完了還認為這是唯心主義。。）
2樓：莊生夢蝶
先說結論：是精確值。
不用分析的語言，大白話說一下。
微積分確實也是用古人那種內接正多邊形的方法求圓面積。
但是思路不是把多邊形的邊數湊到盡可能多，而是求極限。
從幾何上很容易理解：不管我們把多邊形的邊數加到一億，一萬億還是多少，內接多邊形的面積都只可能無限接近，卻不能最終達到圓的面積的精確值。
所以，圓的面積，就是內接多邊形面積的極限。
內接正多邊形的面積πr可以表達為乙個數列
（n代表多邊形的邊數，這個數列通項公式的推導非常簡單，只需要初步的三角函式知識，可以手推一遍，在此不贅述）
只要我們求出這個數列的極限，那麼這個極限就是圓面積的精確值。
當然，有人可能糾結於π是無理數的問題。由於π的無理性，π本身，以及許多圓的面積確實沒辦法精確地用有限位小數表達其數值解。
但是對應的解析解，肯定是精確值。
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