1樓：Moonlight
不請自來
前面幾位答主說的已經很清楚了顯然這是Bezout定理的直接推論必要性可以通過Bezout定理直接證明(這是因為(a,b)=1等價於a,b互質）
充分性的證明在我初學這裡想到了如下方法
我從ra-sb=1出發這表明ra與sb是相隔1的整數自然ra sb兩數互質此時即ra 與sb 除了1無相同因子可知a,b互質
再回到ra+sb=1 這表明ra與-sb是相隔1的整數重複上述推理即可證明a,b互質
2樓：小萊陽
因為可以證明正確，過程初等數論的書都有，其他答主也已經給了。
其實關鍵就是那個右邊的「1」而不是「0」，如果要直觀理解的話，題主可以想一下相反的情況，也就是不互素的時候會有公因數，線性組合必然是公因數的倍數（總不會是1），反過來也一樣。
多項式環上也有平行的結論。
數學裡只有真假，只有邏輯，沒有所謂的「為什麼」，證明或證否就完了。
Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them.
3樓：Algebra
下面證明：
其中 表示整數 的最大公因數，故顯然的： 互素。
「 」 ：
因為 ， ，故對 ，都有：
因為 ，不妨設其為： ，即：
故： 即： 。
「 」：
不妨設 的所有組合中，最小的正整數為 ，其中不妨對 ，由整數帶餘除法定理，我們可以有：
故：也就是說，我們發現 也可以寫成 的一種組合形式，但的所有組合中，最小的正整數為 ，而 ，故我們得到：
即對 ，都有：
接下來，我們一般有兩種證明方法：
方法一：
因為對 ，都有 ，不妨取： ，故：
同理可得： ，故
而由最大公因數的定義： ，故：
綜上： ，即：
方法二：
設：綜上，我們有：
故必然 ，當 時，有：
此時有： ，故：
同理可得：
且不難證明 為 的公因數，且可以表示為 的線性組合，故因為為 的公因數，故：
不妨設 ，則因為 ，故：
所以：綜上： ，而 又是正整數，故：即：
4樓：進擊的辣條
充分性：因為 , 假定 ,有 ，又括號內是正整數，與k乘積大於1，矛盾，所以有a，b互素。
必要性：因為 ,所以由歐幾里得演算法有
易見 ，易由數學歸納得出
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