1樓：三千弱水
List of unsolved problems in mathematics - Wikipedia
對於方程
除了是否存在其他整數解
這裡表示距離到最近整數的距離, 為實數
求解方程的整數解
2 ,x > y > 1" eeimg="1"/>
其中是正互質整數，是正整數，上述方程有有限個整數解
存在正常數,使得對任意整數
C \sqrt \quad (y^ \neq x^) \\" eeimg="1"/>
對於方程
其中都是正整數，其唯一解為
再補三個[1]
畢達哥拉斯三角形指的是三邊長都是整數的直角三角形, 即滿足 且 都是整數。現在我們將這個概念擴充套件到三維，在三維空間，我們需要四個數 和 ，前三個數是立方體的三維邊長， 是立方體的空間對角線長度。
正如有些三角形的三邊都是整數一樣，存在一些立方體的三邊和體對角線 都是整數，但對於立方體來說還有三個面對角線 和 , 這就帶來乙個有趣的問題：有沒有立方體滿足這個7個邊長都是整數的條件呢?
問題的目標在於找到乙個立方體滿足 , 且全部的邊和對角線長度都是整數，這種立方體被稱為完美立方體 (perfect cuboid) 。數學家們測試了各種不同的可能構型，還沒找到任何乙個滿足條件的情況。但也不能證明這樣的立方體不存在。
隨手畫乙個閉合曲線，這個曲線不一定要是圓，可以是任何你想要的形狀，但曲線的起終點必須重合且曲線不能穿越自身，在這個曲線上可能找到四個點連成乙個正方形。內接正方形假設的內容就是，每條閉合曲線（確切來說是每個平面內的簡單閉合曲線）一定有乙個內接正方形，這個正方形上四點都在這個閉合曲線上的某處。
許多閉合曲線上內接其他形狀的問題都已經得到了解決，例如矩形或者三角形等，但正方形卻有點複雜，至今數學家們還沒有搞明白這個問題的正式證明。
這個問題之所以被命名為「美好結局問題」，是因為它促成了一對數學家的美好姻緣：數學家George Szekeres和Esther Klein都曾致力於解決這一問題，他們最終結婚了 (而這個問題仍未解決)。概括來說，這個問題是這樣的：
在一張紙面上隨機放置5個點，假設這5個點排布不特殊（比如排在一條直線上），你總能找到其中四個點構成凸四邊形，也即四個邊夾角小於180°的四邊形。這個定理的要點在於，不管這5個點的位置排布如何，你總能在5個點中構造乙個凸四邊形。
這是四邊形的情況，而數學家發現，為了確保構造出乙個凸五邊形，似乎需要9個點；對於六邊形則需要17個點，但此外更多邊形的情況我們不清楚。構造七邊形和更多變形需要多少點，依然是個謎。更重要的是，理應有乙個公式告訴我們對於某一邊數，需要多少個點。
學者們認為這個公式可能是
其中M是點數而N是邊數，但只是證明了有限範圍的數
2樓：雨雪晴
H_n=1+1/2+1/3+…1/n化成最簡分數後為u_n/v_n下面這些是還沒解決的猜想:
1. 有無窮多個n，使v_n等於1,2,…,n的最小公倍數。
2. 對每個素數p，只有有限個n，使得p|u_n。
將這些滿足p|u_n的自然數n形成的集合記為J(p)。這個問題就是說每個J(p)都是有限集。 不難得到當p≥5時，J(p)至少包含 p-1,p(p-1), p^2-1這三個數。
3. 有無窮多個素數p，使得J(p)=(這種素數被稱為調和素數)，這個問題就是說的有無窮多個調和素數。
3樓：宇帆
Let be a continuous representation which is unramified at all but finitely many primes, and such that inertia at has finite image under . Then has finite image.
4樓：ZS Chen
3/20更新：我發現在我寫這個回答的十天前 @ocau 已經舉過這個例子了. 他的回答裡鏈結的MSE問題裡有更詳細的內容.
集合論最古老的問題之一: 拆分原則能否推論出選擇公理?
選擇公理有著如下的等價表述形式:
Every surjective function has a right inverse.
即: 如果 是滿射, 那麼就存在乙個 使得 .
將這個命題弱化一點, 我們就能得到拆分原理Partition Principle:
如果 是乙個滿射, 那麼就存在 為單射.
集合論上歷史最遠久的開問題之一就是: 選擇公理是否是拆分原理的推論?
作為一門數學學科, 集合論對關於"命題P是否是命題Q的推論"這類問題有著最豐富的和系統性的工具, 然而儘管如此, 目前集合論的工具對於這個問題還是非常蒼白的. 當前所有已知的ZF模型中, 這兩個命題都是同真同假的. 就我們現在的知識來看, 這個開問題的解決幾乎是一點希望都沒有.
5樓：Mivik
The Graceful Tree Conjecture：令一棵樹上每條邊的權值是這條邊連線的兩個頂點標號的差。對於所有的樹都存在一種給點標號（只能是 [0,n) 中的整數）的方式，使得每條邊的權值互不相同。
6樓：Achatinidae
1.冪級數展開的係數中是否有0？
即證明或推翻: 中 的係數 恆成立，目前計算機已經驗證了所有 ，沒有發現反例，也沒有證明。
前幾項如下：
1, -24, 252, -1472, 4830, -6048, -16744, 84480, -113643, -115920, 534612, -370944, -577738, 401856, 1217160, 987136, -6905934, 2727432, 10661420, -7109760, -4219488, -12830688, 18643272, 21288960, -25499225, 13865712, -73279080, 24647168, 128406630, -29211840, -52843168, -196706304, 134722224, 165742416, -80873520, 167282496, -182213314, -255874080, -145589976, 408038400, 308120442, 101267712, -17125708, -786948864, -548895690, -447438528, 2687348496, 248758272, -1696965207, 611981400, -1740295368......
a_n的前n項(來自OEIS)
2.數列是否是有限數列？
若存在某個 使得 ，則下標 ，遞推無法進行，數列到此為止，便為有限數列，但目前沒人能證明這一點。
前幾項如下：
1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 16, 14, 14, 16, 16, 16, 16, 20, 17, 17, 20, 21, 19, 20, 22, 21, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 32, 24, 25, 30, 28, 26, 30, 30, 28, 32, 30, 32, 32, 32, 32, 40, 33, 31, 38, 35, 33, 39, 40, 37, 38, 40, 39......
a_n的前n項(來自OEIS)
3.Flint Hills Series是否收斂？
即求和 是否收斂？此問題與 的無理測度有關，目前還沒被證明。
4. 對於大於等於2的正整數，是否總有？
其中 表示向下取整，如
看著很簡單，實際上難度很高
5.平面上n條兩兩相交的線最多能交出多少個不重疊的三角形？
又稱Kobon三角形問題，交法具體見下圖：
目前已知的一些最好的結果（圖源：Mathworld）
目前已經證明上界是 ，前幾項是
6.三維空間中至多有幾條異面直線兩兩距離相等？
又稱Touching Cylinders Puzzle，目前最好的答案是七，不知道有沒有更大的。
具體可以見：
三維空間中至多有幾條異面直線兩兩距離相等？
7.平面內能覆蓋住所有長度為1的曲線的最小圖形面積是多少？
此問題又稱The Worm Problem，即要求在平面上尋找乙個面積最小的(凸)區域,使得任何一條長為1的平面曲線都能夠通過旋轉和平移完全放入該(凸)區域之中。目前最優解如下：
8.哪些正整數不能被表示為 且 的形式？
已經證明 這些數無法表示，且至多還存在乙個 的數滿足，但目前無人能證明或推翻其存在性。
先寫這些，日後慢慢補充。。。
7樓：ocau
在ZF下，如果對任意函式都存在其值域到定義域的單射，能否證明AChttps://
8樓：等待小蝸牛
在邊長為1的正方形裡，我們如何精心擺放n個點，使得所有由這些點構成的三角形中，面積最小的那個三角形，也不那麼小？
嚴格一點表述的話，就是說。我們要使擺完n個點後，跑遍所有可能的三角形，求乙個極值函式
。一般會考慮 的漸近行為。
比如，肯定不能用三點共線的情況，否則就有面積是0的退化三角形了。
9樓：
對於素數p，由Wilson引理可知(p-1)!+1可被p整除。那麼哪些素數p能讓(p-1)!+1被p^2整除呢？
這樣的素數被稱為Wilson素數。目前已知的Wilson素數只有5，13，563。是否有無窮多個Wilson素數尚不清楚，有人猜測[1,n]中的Wilson primes大約有log(log(n))個，且已由計算機驗證沒有其它小於5*10^8的Wilson素數。
是否對每個不小於2的正整數，方程4/n=1/x+1/y+1/z都有正整數解(x,y,z)？
這個問題被稱為Erds-Straus猜想。目前由計算機計算可知其對n≤10^17成立，但對一般的n仍然未知。
乙個寬1公尺的L型轉角走廊最多能搬運多少面積的沙發？（這裡走廊和沙發都看成二維的俯檢視）
這個問題被稱為沙發搬動問題，。目前被構造（指可以取到）的最大下界為2.2195(Gerver, 1992)，有猜測認為這即為實際的最大值，但未被證明。
另外此常數有上界2.37(Kallus&Romik, 2017)。
數學界有哪些未解之謎？
大名鼎鼎的黎曼猜想和鼎鼎大名的ABC猜想是否可以聯絡起來？數學之神黎曼與黎曼猜想 日本當代天才數學家望月新一與ABC猜想 這個數列與科學史上一些著名年份密切相關，比如牛頓力學發現年份1666，奧勒 羅默首次測定光速的年份1676，牛頓首次推導克卜勒三定律的年份1684，麥克斯韋電磁學的發表年份186...
「群論」通俗易懂的書有哪些推薦？
望天衝 我的新書，多謝指教！其實這是我寫的唯一一本書。我的數學不是很好哦，我不是數學大牛哦，我是個工地打工的屌絲。大家不要對我太苛刻。寫作起因，兩年前，有個北京的清華新生，大談教育資源的優勢。我決定寫一本書，它能夠讓最偏僻的鄉村中學的教育資源，和頂級的中學差距不大。我在網上查了一下，偶然看到群論的理...
有哪些心理學的通俗易懂的入門書籍？
渡醇 推薦搭配一本教材。普通心理學 彭聃齡主編，北師範出版教材。目錄有個順著人心理形成發展的邏輯，領會順著看，會收穫許多。花點時間培養嚴謹認真沒什麼不好，這本教材會塑造你井然有序的思維方式。 習武而夫 世界如此險惡，你要內心強大 當我經歷了一些普通人難以想象的事情後，再來讀這本書，內心深處就會激起深...