1樓：littleNewton
本文使用 Zhihu On VSCode 創作並發布數列的極限是很容易理解的，在數列單調有界的情形下，一定有極限，但是這個極限不見得屬於該數列。舉個簡單的例子，從左閉右開區間裡 ，按照一定方法，取出乙個單增的數列，並且以 為極限，那麼這個問題就很好理解了，該數列確實以 為極限，但是其極限並不在數列中。
那麼所謂的上極限是不是也是一種類似的極限呢？並不是。
在學習級數時，總要借助某些數列來說明級數的收斂、發散，但是很不巧，這些用來說明的數列不一定是收斂的。所以引入乙個比收斂弱一點的性質，滿足我們的刻畫需求就好了。
這就是上極限的引入初衷。且聽我娓娓道來。
根據波爾查諾·魏爾斯特拉斯定理，有界數列必有收斂子列。我們設某收斂子列
的極限值為 ，這裡的 僅僅是乙個標記而已。如果有另乙個收斂子列，我們可以命名為 .
那麼緊接著就有乙個問題，乙個有界實數列能有幾個收斂子列？這個問題不知道，但肯定至少有乙個。我們不妨把這些收斂子列的收斂值（極限值）都取出來，放到乙個集合裡，那麼這個集合裡就都是極限點了。
這有點類似於把多個極限值不同的數列按照一定演算法（如錯位插空法）合併到一起，它們各自的極限值，就是合併後的大數列的所有極限點。
上極限就是乙個數列所有的極限點中，數值最大的那個。而且有趣的是，數列的極限點集合的上確界一定在這個極限點集合裡，不會出現我們第一段中描述的那種情況。再次注意，我說的可不是數列的上極限一定屬於這個數列喲！
從這個觀點來看，上極限的意義，其實就是把我們合併之前的那些收斂的數列都還原回來，然後把這些還原出來的數列的極限值排了個序，取出了最大的那個值。所以很顯然，上極限不一定能在該數列中，因為上極限對應的那個子列的極限，不一定在子列裡。
前面我們說了，上極限是極限的乙個弱定義，如果數列本身是單調的，那麼其上極限就退化成了極限。這也就是為什麼數列 極限值存在的充要條件是：
如果這個數列是由若干個極限值不等的數列（不妨稱它們為原數列）插空合併而成，那麼上極限就是原數列中極限值最大的那個。
這個概念在級數收斂判定中相當有用！
2樓：一二三四五
an極限是2 bn極限是3
那麼a1 b1 a2 b2這個數列的上極限就是3
你可以把聚點看成數列的聚類分析那麼上極限就是這些類別中最大的點類
3樓：嚴民
只談有界實數序列。
據Bolzano-Weierstrass，任何有界序列有收斂子串行。我們的有界序列中，不同收斂子串行可能有不同極限，在所有的極限值中，最大的就是上極限，最小的就是下極限。
我以為上面定義是唯一概念上正確定義，用極限公式的定義只是公式，只是一種演算法，而且是最壞的演算法。
當然為了定義，還需證明極大極限的存在，背後的原因是極限的極限仍舊是極限。
上面的定義不太實用，真正實用的是下面對於上極限的刻畫。
定理：乙個序列X的上極限L有如下性質：
如果 M > L，那麼X中只有有限項大過M；
如果 M < L，那麼X中有無限多項大過M。
想象乙個門檻M，我們數一數X中有幾項高過這個門檻。當門檻很高（高過臨有X），這個數是0。當門檻很低（低過所有X），這個數是∞。
當我們將門檻從很高逐漸降低的過程中，這個數越來越大，從0到1，到2，...，有限，到無限，到所有。這裡就有乙個有限和無限之間的臨界點，定理說這個臨界點就是上極限。
4樓：dhchen
Limit point - Wikipedia
乙個點 叫數列 的凝聚點當且僅當對於任意的 ,區間 包含無限個數列中的項。這和集合的極限點（凝聚點）不是乙個概念。如果把數列看成集合，它的集合凝聚點一定是數列極限點，但是反過來不是。
比如數列 ,這個數列（的值）作為集合是 ,它只有離散點，沒有凝聚點。但是， 都是數列 的數列凝聚點。
乙個點 叫數列 的凝聚點的等價定義是存在乙個子串行 使得它的極限剛好就是 .好了，回到數列的凝聚點，任何有界數列都有凝聚點，這些凝聚點本身構成乙個集合，這個集合是乙個有界閉集（也就是緊集），然後它的最大值就是上極限。
如果證明任何有界數列都有凝聚點呢？只需要取乙個單調數列就好，任何乙個數列必然包含乙個單調子串行。對於任意的 , 我們選取其中的尖峰項 , （乙個數列項滿足 就叫尖峰項）。
只有兩個可能，這個序列只包含有限個尖峰項，這個時候這個數列在某乙個項後自然存在乙個嚴格單調遞增的數列。如果這個數列包含無限個尖峰項，這些尖峰項本身構成乙個單調遞減序列。乙個有界的單調序列必然有極限，這是實數本身的性質決定的，所以任何有界數列必然有極限。
還有一種非常便宜的用來計算的定義，那就是 , 在這個定義中數列 雖然不是原數列的子列，但是它的極限必然是原序列極限點（大家證明看看）。然後你還能證明這是所有極限點中的最大者。這個數列 是本身是單調遞減的，所以我們可以直接把 .
類似的，我們可以定義下極限。為什麼我們需要說明那麼多的等價定義呢？因為在實際使用的過程中，你得根據情況選擇最佳的定義作為工具，這也是學數學基本的思路。
5樓：三川啦啦啦
我們知道，很多數列是沒有極限的，除了發散至無窮這種情況外，大部分數列沒極限的原因是極限的「候選手」太多了，而極限只能有乙個。
這樣的數列非常容易構造出來：把趨於不同極限的多個數列「
混合」在一起就好了。比如：
紅點、藍點、綠點分別為數列 a、b、c
構造新的數列 ：
這下新數列就沒有極限了。但是我們知道，新數列中存在子列，它的極限最大並且是 ，為了表述這個事實，我們就發明了上極限的概念（同理，也可以定義下極限）。用符號表示：
k}a_n" eeimg="1"/>
等號右邊使用上確界，描述子列當中最大的極限。
如果，對於趨於無窮的數列，將 也視為這個數列的極限，那麼任意乙個數列都存在上極限了！
這下，我們就把數列極限的定義推廣了，對任意數列都可以研究其上極限的性質了。
另外，補充乙個很顯然的事實：
當乙個數列上、下極限相等時，數列存在極限，並且等於上、下極限。
利用該性質可以判別數列收斂性，這不就是「夾逼準則」嗎？
6樓：馬新超
準確說是該點列所有聚點(正、負無窮也可視為聚點)的上確界。有界點列的聚點總是存在的，無解點列，至少正、負無窮是乙個聚點。
例如：1,2,1,1,後面都是1
它的上確界是2，但上極限就是極限，是1。
例如：1，-1，1，-1，....
它沒有極限，但它有兩個聚點，1，-1
因此上極限是1，下極限是-1.
7樓：
先理解部分極限的概念。
任何函式在一點至少有乙個部分極限。
部分極限中總有最大的(上極限)和最小的(下極限)。
函式在一點有極限等價於該點所有部分極限相等。
從結論上說，是上確界也沒錯。
上確界與上極限有什麼異同？
已登出 簡單一點的理解 從它們的定義入手 只有數集才有上下極限，數集是什麼，本質就是數軸上點的集合，各項互異，是離散的 而上下極限是有界數列的最大最小聚點，而聚點是收斂子列的極限，所以只有數列才有上下極限 而數集和數列本質就是不同的 lenture 比如對於實數序列來說會有上確界，從該序列按順序擷取...
怎樣正確理解上極限與下極限？
任普軍 極限的概念最好先從數列的角度入手會比較容易接受，比如劉徽的割圓術，用圓的內接正N邊形的面積近似圓的面積，當N取不同值時就可以得到相應的一列數，而這列數的極限即為圓的面積。又如一尺之錘，日取其半，萬世不竭等實際的比如。然後，要真正把握極限的概念，仍是要把它籠統成數學符號的言語來了解，再加以影象...
數列 sin n 的上極限與下極限怎麼求？
David KZ 通過搜尋引擎，可以發現stackexchange已經有這個問題的解了 Showing sup 1 由於我們可以找到乙個無理數使得它任意逼近 基於同樣的理由，我們可以找到乙個自然數 使得 逼近 從而得證。這個回答下面有提問如何證明可以找到乙個自然數 使得 逼近 所以我覺得下面乙個回答...