1樓：DJ Hitori
無窮多。
考慮等式：
對任意正整數k，讓n取[1, k]中的整數可以得到k個不同的等式。以k=3為例，有：
對每個等式，讓其兩邊乘以所有其他等式的右邊，這樣可以讓每個等式的右邊相等。
於是我們找到了k對不同的正整數，它們的平方和相同。
也就是說我們找到了k個不同的整點，它們落在同乙個以原點為圓心的圓上。
也就是說我們找到了乙個以原點為圓心的圓，它至少經過k個整點。
又由於k是任意正整數，所以原問題的回答是無窮多。
更新：之前漏掉了乙個細節。本來互不相同的等式，兩邊乘以各種數字之後，會不會變成相同的等式？
為了回答此問題，首先需要把「兩邊乘以各種數字」用數學語言描述出來。
第n個等式本來是：
它兩邊要乘以的數字是：
，其中 是只和k有關的常數
做完乘法後等式n變成：
假設第p和第q個等式（1 <= p < q <= k）在變換之後變成了相同的等式，則有：
顯然兩個等式兩邊都是正數，所以兩邊分別相除，得到：
定義 （x>0），則 恒為正，所以f(x)遞增，所以由f(p)=f(q)推出p=q，矛盾。
所以原n個等式在變換後一定會成為互不相同的等式。
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塵月 不可以的。實際上二次曲線影象上的點，也就是拋物線上的點，絕大多數都不在同乙個圓上。證明的方法蠻多的，我提兩種。第一種用分析的方法，也就是利用曲率來計算。不難得知乙個半徑為 的圓上每一點的曲率處處相等，都是 而對乙個二次曲線，不妨取 其曲率為 顯然 取值不同的時候曲率不相同，這與圓上曲率點點相同...
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