對曲面面積公式（偏微分方程）怎麼理解？

1樓：冰河時代

可以先通過理解對弧長的曲線積分，然後理解對曲面的理解，而對弧長的曲線積分中的ds即弧線的長度，然後通過微元法，把弧長分成n段，把每一小段看成直的線段，然後用勾股定理，就可以得到對弧長的曲線積分。同理，增加乙個變元，依然是對其求解，不過是在空間上求解，不再是在平面上了。

2樓：

根號裡的式子當然是面積元素了。

什麼是面積元素？以最簡單的平面二重積分為例子，面積元素就是。

但是曲面是起伏不平的，所以肯定不是。因而，我們需要找到一種方法來計算曲面上面的面積元素。

在這裡，我們再次使用二重積分裡面的化曲為直的思想。在二重積分裡面，我們把曲線圍成的面積近似看作是許多個極微小的矩形的和。那麼在曲面積分裡面，我們也可以將曲面面積看成是許多個極微小的平行四邊形的和。

那麼如何找到這個平行四邊形？

曲面曲面，要有三維空間才叫曲面。所以我們先從三維空間出發。假設三維空間裡面有這麼乙個以為長，為寬的長方體，長方體的高度我們先不追究。

我們假設讓這個長方體上公升的高度，讓這個長方體上公升的高度，那麼可以看出，長方體的最高頂點是唯一的：。

其實這個的本質就是全微分。而圖中的平行四邊形就是我們所要找的曲面的面積元素。

那麼這個平行四邊形的面積如何推導呢？在三維空間裡面，求平行四邊形的面積，首先想到的就是用向量積法則。

於是找到圖中和方向的兩個向量和，它們所交成的平行四邊形面積由向量積法則可得：

。其結果就是。

3樓：Andy 11

這個根號下的因子其實就是曲面面積元和下面對應xy區域面積元的比值。如圖如果用切平面來近似替代曲面上的面積元的話，顯然決定這兩個面積元△S/△A的就是切平面和xy平面的夾角余弦倒數了，算出來就是那個因子。