1樓：Trivial
題主應該問的是伴隨表示而不是伴隨矩陣，李群的表示從幾何的角度去理解尤其的自然，在這裡安利一下。
1 李群的表示：
首先我們研究李群的表示是因為李群可以變得相當的抽象，所以我們需要看李群中的元素作用到某個流形（或者就是某個空間）得到什麼結果，這種從李群的功能角度去看問題可以把抽象的李群進行簡化。首先介紹李變換群的概念： .
如果固定了元素g,我們可以得到乙個的微分同胚對映，這個微分同胚對映我們叫做李變換群. 特別的，如果作用到的流形M還是乙個線性空間V, 我們可以看出這個對映的特徵是從李群G到乙個線性變換的對映，線性變換就是矩陣，也就是說我們用矩陣表示了李群的性質，就叫做G的表示， V叫做表示空間。
2 李群的伴隨表示：
所以我們要尋找乙個李群的表示，也就是要尋找乙個線性空間作為乙個表示空間。如果李群本身就是乙個矩陣群的話，當然它本身也就構成了乙個表示，叫做基本表示。但是除了基本表示，我們還能找到什麼表示呢？
你可以想到對於任意的李群有乙個現成的線性表示空間，那就是這個李群的李代數。ps：李代數就是李群恒等元的切空間。
先說李群的伴隨表示的定義：
從李群G到其李代數上的乙個線性變換叫做這個李群的伴隨表示。
下面我們進行乙個簡單的說明：
給定李代數中的乙個元素A，我們可以由它通過指數對映生成李群中的乙個單參子群，(一般的書中可能會多乙個i來保證厄密性，不過這只是記號的問題）。
因為它是李群的元素，對於G，我們有乙個自同構的對映，對於李群中的任意元素g,
. 如果讓t作為引數，構成了一條在G上的另外的一條單參子群。我們求它的單位元上的向量就可以得到另外乙個李代數的元素，
第一步用到微分幾何中的一條定理（曲線像的切矢等於切矢的像）， 第二步我們就是引入了記號Ad。也就是說自同構對映讓李代數A轉了一轉。
以上我們就得到了李代數上的乙個線性對映. 所以根據表示的定義Ad也就成為了李群的乙個表示，叫做伴隨表示。
關於為什麼要尋找伴隨表示，我覺得和wigner定理有點關係，wigner定理說乙個粒子對應於對稱群的乙個表示，為了在乙個對稱理論中加入更多的粒子，就要尋找更多的表示，如果尋找到了伴隨表示，就可以將一部分的粒子放在伴隨表示中，起到了乙個擴充的作用，實際上量子場論就是這麼幹的。其它的因為我量子場的基礎不好，就不多說了。
這種幾何的理解可以和其它理解中（例如使用結構常數）完美的對應，並且更加直觀和容易。所以推薦這麼理解一下。
參考資料： 梁燦彬 《微分幾何與廣義相對論》中冊附錄G
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