1樓：陸泓帛
1.a). 顯然空集屬於τ，全集的補集是空集，有限，所以X屬於τ；接下來，對於任意τ中的開集Uα，考慮它們的並V，V的補集必然為一切Uα的補集的交集，而任何有限集的交集必然有限，因此V屬於τ；最後，對於任何有限的Ui，考慮它們的交V'，V'的補集必然為一切Ui的補集的並集，而任何有限多有限集的並集必然有限，因此V'屬於τ；從而τ是X上的乙個拓撲
1.b). 由題意，應假定X本身不可數，否則可通過構造證明(Χ,τ)是第一可數的，接下來，假設X第一可數，則對於任意X中的點x，都存在可數開集列Ui，使得對於任何x的臨域V，都存在某個Uk，使得Uk含於V，令這一系列開集Ui的補集之並為W，可知W可數（可數多有限集之並可數），因為X根據假定不可數，因此必然存在X中不在W內的點p，現在令V為p的補集，可知V是開集，但因為p不在W內，因此任何Ui（包括Uk）必然都包含p，而p不在V內，矛盾！
因此(X,τ)必然不可能是第一可數的。
接下來，證明(Χ,τ)可分，由假定知X不可數，因此存在X中的可數無限集E，考慮該可數無限集E。顯然E不可能含於任何有限集中，因此只有X是包含E的閉集，所以X是E的閉包，因此E在X中稠密，又因為E可數，所以(Χ,τ)可分。
2. 假設(X,T)不連通，則存在不交開集U，V，使得X為U和V的並。因此V是U的補集，所以V是閉集，而顯然V是X的非空真子集，因此V就是X中乙個既開又閉的非空真子集。
接下來，假設X中存在某個既開又閉的非空真子集V，考慮V的補集U，顯然因為V閉，所以U是開集，且U，V不交，又因為U是V的補集，所以X是U和V的並集，因此根據定義，X是兩不交開集的並，所以(X,T)不連通。
3.a). 為證明T*是X*上的拓撲，考察：
a-顯然空集和X*都在T*內；b-對於任何T*內的開集Uα，如果其中不包含X*，那麼由T是X上的拓撲可知Uα的並在T*內，若其中包含X*，則它們的並必然是X*，也在T*內；c-對於任何有限多個T*內的開集Vi，如果其中包含X*，那麼其交集必然等於其餘不為X*的Vi的交集，因此考慮Vi不包含X*的情況，由T是X上的拓撲可知這有限Vi的交集必然在T*內；因此，由a，b，c三點可知T*是X*上的拓撲。
3.b). 因為的補集是X，而X是開集，所以的閉包就是；沒有內點，因為X*是唯一包含∞的開集，而X*顯然不是的子集。
3.c). 考慮任何X*在T*下的開覆蓋，因為該開覆蓋必然需要覆蓋∞，而X*是唯一包含∞的開集，所以X*必然在該開覆蓋中，因此選出X*，即可覆蓋X*，這顯然是有限子覆蓋，因此(X*,T*)緊。
原回答：
你圖里關於τ和U'的描述那一部分字跡太難辨認了，方便詳細說一下這倆都是啥嗎？
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