orbifold和groupoid有沒有人了解？

1樓：

當然有人了解。然而問題具體是要問什麼？簡單介紹？這倆之間的聯絡？還是應用？下次題主可以先嘗試將自己的問題描述清楚再來提問。

看到上面的回答，都或多或少是從微分幾何的角度。確實，orbifold 這個名字大多是做幾何拓撲的人用的，對於做代數幾何的人來說 orbifold 基本上是 Deligne-Mumford stack。為什麼說是「基本上」，這取決於不同人眼裡的 DM stack 的定義。

比如有些人並不假設乙個 DM stack 的diagonal 需要是 quasi-compact，也就是說 stabilizer 不一定非得是有限群。不過我覺得剛開始了解 orbifold 或 DM stack 的人也許並不需要關心這些細節條件，所以基本上如之前的幾個答案裡所說的，orbifold 區域性上就是流形在有限群作用下的商空間。當然，代數幾何裡就是代數簇或者是概型在 unramified 群作用下的商空間。

另一方面，我大概理解為什麼 groupoid 在這裡一併出現，因為這兩者並不完全是「兩碼事」。給定乙個 DM stack , 取乙個 étale atlas (幾何拓撲裡就是取乙個區域性同胚覆蓋)，如果記，那麼（兩個箭頭為第一與第二投影）就是乙個 étale groupoid in objects of the category of schemes。任何 groupoid 都可寫成「」這種形式，以 groupoid 的抽象定義來看，這裡的就是 objects，就是 isomorphisms。

事實上，取 groupoid 也是做 algebraic stack 的人常用的計算與證明的技巧。考慮 groupoid 的意義在於，它是群作用的推廣。如果我們僅僅考慮群作用，那麼作為群作用下的商空間，一般稱為 global quotient。

比如說如果乙個 orbifold 在全域性上就是由乙個流形在某個群作用下的商，那麼這個 orbifold 就是個 global quotient。在代數幾何裡，這種全域性商空間叫做 quotient stack，也就是形如的 algebraic stack。乙個 algebraic stack 顯然不總是 quotient stack。

但如上面所取乙個 atlas，則總可得到乙個 groupoid，而這個 stack 則是這個 groupoid （作用於 atlas ）的「商」。這裡的「商」是形式化的，因為按理來說，給乙個 groupoid in objects of a category ，自然的是在這個範疇裡取商，但它不一定存在。比如作為乙個 DM stack 的 groupoid，如果它的商在概型範疇裡存在，那麼這個商就是此 DM stack 的 coarse moduli space（不總是存在）。

我不太了解做幾何拓撲的人眼裡的 orbifold，但我感覺他們研究的也許是對應的 DM stack 的 coarse moduli space。

最後說一說例子。就拿 Yuhang Liu 舉的 n-dim 線性空間的例子來說，這個 groupoid 就可以由比如集合或者概型（或者別的什麼…）作為 objects 來構成，因為只有乙個 isomorphism class of objects。這個 groupoid 的「形式商」是 , 也即群的 classifying stack，它在集合範疇（resp.

概型範疇）裡的商則是乙個點（resp. the base scheme）。作為如上「」這種形式，這個 groupoid 可以寫成。

這是個 Artin stack 而非 DM，因為 stabilizer 是正維數的。

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