1樓：
談一點更影象的看法，供參考。
光滑向量場可以生成微分同胚對映，可將流形上的張量場對映為另一張量場。直觀理解就是「易地唱戲」，相當於將張量場以某種規則（即微分同胚對映的規則）搬到另乙個地方。
Killing向量場生成的微分同胚對映作用於度規後不變，即搬了乙個位置後，仍然沒什麼區別。直觀理解可以想象乙個圓柱狀的房子，繞中心旋轉任意角度，這房子都不變。所以，本質上Killing向量場就是刻畫了度規的對稱性。
那麼，為什麼要研究Killing向量場呢？原因還是對稱性。對稱性的存在說明系統的自由度存在冗餘，想辦法解決掉這個冗餘，就可以簡化問題。
比如，平面上的圓周運動，如果在直角座標系下研究，它是兩個自由度。但是如果注意到它的運動過程中半徑不變，就可以約化掉半徑的自由度，而只用角度來刻畫即可。從而大大簡化問題。
引力場方程是高度非線性偏微分方程組，硬解幾乎沒有可能。如果事先知曉系統的某些對稱性，比如它是靜態的、或是它是球對稱的等等。加上這些條件，就可以把待解的度規分量變的更少，從而大大簡化問題。
比如 Schwarschild 黑洞就是球對稱靜態解，用對稱性約化掉一堆分量之後，方程將變得可解。
除了極簡單的情形下有解析解，大部分引力系統其實目前解析解都還沒有找到。所以，現在有不少用數值相對論的辦法來求解。即使是數值上求解問題，也常常要用到對稱性，原因還是為了簡化問題。
建議閱讀梁燦彬先生的《微分幾何與廣義相對論》上冊，書上對這個問題有很精確的表述。其中「易地唱戲」就是梁書中的表述。
2樓：質點
剛學完這個內容，談一下我的粗淺理解。
設 為等度規對映，即 ，那麼 。即： 作為向量的對映保持內積不變。形象地理解，是乙個旋轉。
如果 是含引數 的，那麼這個旋轉可以視為一系列無窮小旋轉的連續作用。這個無窮小作用的體現就是Killing向量場 。這一系列作用的過程對應了的積分曲線。
這一作用的保度規性對應了Killing方程。
為了描述無窮小旋轉，可以用角速度2形式。定義是：在一條曲線上定義了向量場 ，如果有2形式場使得 ，其中 是沿曲線的協變導數，那麼稱向量場 經受為角速度的轉動。
容易理解，經受轉動的兩個向量的內積是不變的。
作為單參微分同胚群，它的無窮小作用體現為它的李導數。因為我們要求是等度規的，因此它是旋轉，因此它的無窮小作用就得是「無窮小旋轉」，這就聯絡到了角速度2形式了。即：
李導數與協變導數的區別體現在乙個角速度2形式上。協變導數很簡單，就是 。而李導數可以借用對易子的表示式寫為 。
李導數的第一項與協變導數相同，因此區別只體現在第二項。如果要求它是乙個旋轉，那麼需要有 ，即 ，聯絡形式的反對稱性就得到Killing方程 。
3樓：YorkYoung
簡單的一句話，Killing向量場就是等度規群的無窮小生成元（當然也就是它的李代數）。
這裡勸題主自學一下微分幾何，不懂微分幾何，學廣義相對論，就好比高中不知道微積分，強行學瞬時速度和加速度，看得懂才怪了。
但是如果我們在流形上定義了度規，成為乙個黎曼流形，那麼它的自同構，就要要求這樣的微分同胚是保度規的。設是黎曼流形 上的自同胚，對於度規 ，它的拉回對映 ，作用在度規上，如果 ，那麼它就是乙個等度規變換。
考慮所有的等度規變換的集合，顯然以對映復合為乘法，它構成乙個群，實際上它是乙個李變換群，對於任意乙個單引數子群 ，我們定義李導數
其中T為(0,n)型張量場，X是給出的曲線族的切向量場，於是我們可以近似認為對於微小的等度規變換
其中 是恒等對映，特別地對(0,0)型張量場，也就是函式
由於 是等度規變換，於是 ，於是
如果我們找得到乙個座標系使得 ，那麼 ，從而度規的分量不顯含 。
顯然這樣的向量場越多，度規的形式就越簡單，而黎曼流形的對稱性群就越大，物理上來說它就對稱性好，就簡單，就好算。
所以我們當然要把等度規群的無窮小生成元，也就是Killing向量場，看得很重要了，畢竟理論物理某種程度上就是研究對稱性的學問嘛。
如何理解向量空間的8條公理？
趙者也 這是從群的定義出發的 啥是群，說的直白點，就是凡是可以加法運算的都叫群要知道世界上不止有實數可以加法運算，集合也可以，邏輯運算的真假也可以。隨機變數也可以 當然向量也可以 研究群的學科叫群論，是高等代數的重要分支。群的性質可以直接拿來定義向量的運算。就是這八條了 iiiiiiyi 我看了好多...
如何評價泰星林禕凱ppkritt？
parthmarkgunplanmean 就我個人感覺奧，他一看就是那種家境特別好，從小沒吃過什麼苦，家裡面的人和身邊的朋友都非常的寵，而且他本身就屬於那種一眼看上去就很好看的那種，五官什麼的看著特別精緻，優雅時尚真的就是他的代名詞，而且就是看著特別像貓系的男孩，很絕就 野生蘿莉 在這個問題下有許多...
如何理解向量叢，層，概形的截面？
cohana 下面是用一些抽象廢話來解釋一下 截面 的含義，算是對另兩位答主的補充吧。而向量叢和概形 區域性環積空間 當然算是具體的例子了。本回答是否有助於 真正理解 我不知道 因人而異吧。截面 section 這個概念的直觀要從叢的角度來理解。在最一般的意義下，乙個叢 bundle 即是指範疇中的...